~球の体積~
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
球の公式ってややこしいですよね
なかなか覚えれないです…
球の公式は入試にも出やすいから
絶対に覚えておかないといけないよ！
というわけで、今回の記事では球の公式の覚え方と使い方、入試問題で理解を深めるということで進めていきます。
球の公式と覚え方【体積・表面積】
~球の体積~
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
~球の表面積~
$$S=4\pi r^2$$
球の公式で覚えておきたいのは、体積と表面積についてだね
え、えと…
3分の…４にあーるが…
ムリ！覚えれないよ！！
確かにね…
球の公式は複雑で覚えにくいです。
なので、語呂合わせで覚えちゃいましょ♪
どうでしょうか。
これなら複雑な公式でも覚えれちゃうでしょ♪
スゴイ！
でも、語呂がちょっとダサいかも
・・・
僕は覚えが悪い方だったので、学生時代この語呂合わせには助けられました(^^;)
覚えるのが苦手だという方は、語呂合わせを利用してみるといいですね！
体積の単位って㎤、㎥っていうように3乗がつくよね。
だから、公式も三乗のやつ
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
面積の単位って㎠、㎡っていうように2乗がつくよね。
だから、公式も二乗のやつ
$$S=4\pi r^2$$
このように関連付けておけば、体積と表面積を逆に覚えてしまうというミスも防げるね！
では、例題を通して公式の使い方について確認していきましょう。
球の体積、表面積の求め方【例題】
【例題】半径が2㎝の球について、体積と表面積を求めなさい。
半径が2㎝ということから、\(r=2\)となります。
これを公式に代入して計算していけばOKです。
【体積】
$$V=\frac{4}{3}\pi \times 2^3$$
$$=\frac{4}{3}\pi \times 8$$
$$=\frac{32}{3}\pi (cm^3)$$
【表面積】
$$S=4\pi \times 2^2$$
$$=4\pi \times 4$$
$$=16\pi (cm^2)$$
公式を覚えてしまえば
計算はラクですね♪
そうだね！
ただし、答えが分数になっちゃうことが多いから
計算ミスがないように気をつけないといけないね
球の公式【入試問題】
球の体積公式なぜ？積分を使って説明
球の体積公式は、高校数学Ⅲで学習する積分を利用することで導けるよ！
これは完全に中学生のレベルを飛び出してしまいます。
だから、中学生の方は公式を丸暗記してしまえばOKです。
高校数学をしっかりと学習した方で、球の体積公式のなぜ？について知りたい方だけ参考にしていってください。
回転体を利用して、球の体積を求めることができます。
上のような図をイメージして、半径\(r\)となる体積を考えると
$$V=\int_{-r}^{r} \pi(\sqrt{r^2-x^2})^2 dx$$
$$=2\int_0^r \pi(\sqrt{r^2-x^2})^2 dx$$
$$=2\pi\int_0^r (r^2-x^2) dx$$
$$=2\pi \left[ r^2x -\frac{ x^3 }{ 3 } \right]_0^r$$
$$=2\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)$$
$$=\frac{4}{3}\pi r^3$$
球の公式【まとめ】
球の公式覚えます！
語呂合わせがあれば、大丈夫そう♪
公式を覚えてしまえば
入試もバッチリだぜ！
入試問題でも紹介しましたが、球と円柱、球と円錐といったように図形を組み合わせた融合問題が出題されることもあります。
球の公式だけを理解していても解けないように作られているので、入試までには図形全体の公式をしっかりと身につけておきたいですね！
~球の体積~
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
（身の上に心配あーる、参上！）
~球の表面積~
$$S=4\pi r^2$$
（心配あるある）