平面図形、空間図形

★円錐の表面積★簡単な求め方とその理由を解説するぞ!

ゆい
ゆい

円錐の表面積って…

めっちゃ難しいんですけどー

かず先生
かず先生

確かに難しい問題だね。

だけど、簡単な求め方があるの知ってる?

というわけで、今回の記事では円錐の表面積を簡単に求める方法について解説していくよ!

どのような考え方を用いているのか。

どのような計算をすればよいのか。

更には、練習問題を通して理解を深めていきましょう。

かず先生
かず先生

これであなたも円錐マスター!!

円錐の表面積【簡単な求め方】

~円錐の表面積~

【底面積】

$$\pi \times (半径)^2$$

【側面積】

$$(母線)\times (半径) \times \pi$$

【表面積】

$$(底面積)+(側面積)$$

かず先生
かず先生

円錐の表面積は、上の公式を覚えておけば楽勝だよ♪

それでは、例題を使って円錐の表面積の求め方を確認してみましょう。

次の円錐の表面積を求めなさい。

まずは公式にしたがって円錐の底面積を求めましょう。

【底面積】

$$\pi \times 3^2=9\pi(cm^2)$$

 

次は母線と半径をかけて、側面積を求めます。

【側面積】

$$8\times 3\times \pi=24\pi(cm^2)$$

底面積と側面積がそれぞれ求まれば、あとは合計すれば終わり。

【表面積】

$$9\pi + 24\pi=33\pi(cm^2)$$

以上!

ゆい
ゆい

めっちゃ楽勝ですね!!

でも、私が学校で習ったやり方だと

もっと難しかったような気がしますが…

かず先生
かず先生

そうだね

上で紹介した円錐の公式はちょっと裏ワザっぽいものになるから、学校では習わないかもしれないね。

円錐の表面積は上の公式を覚えておけば、すっごく簡単に解くことができちゃいます。

学校では教えてくれないこともあるので、読者のみなさまはコッソリと覚えて使っていきましょうw

 

次の章では、学校で学習する円錐の基本的な考え方について解説していくよ!

簡単なやり方だけでなく、基本的な考え方も身につけておけると数学の基礎力向上にもつながってきます。

がんばって理解していきましょう♪

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円錐の表面積【基本的な考え方】

次の円錐の表面積を求めなさい。

こちらの問題を、簡単な公式を使わずに解いてみましょう。

まずは、円錐の側面積を考えていきます。

側面積はこのように扇形になっています。

~扇形の公式~

【面積】

$$\pi r^2\times \frac{a}{360}$$

【弧の長さ】

$$2\pi r\times \frac{a}{360}$$

側面である扇形の面積を求めようとすると、扇形の公式から分かるように中心角が必要になります。

 

というわけで、まずは扇形の中心角を求めていきます。

底面の円周の長さと側面の弧の長さが等しいことを利用すると

このように弧の長さは \(6\pi(cm)\) であることがわかります。

扇形は、半径8㎝で弧の長さが \(6\pi\)㎝であり、中心角を\(x\)とおいて考えると

$$2\pi \times 8\times \frac{x}{360}=6\pi$$

$$\frac{2}{45}x=6$$

$$2x=6\times 45$$

$$2x=270$$

$$x=135°$$

この中心角を利用すると、扇形(側面)の面積は

$$\pi \times 8^2\times \frac{135}{360}=24\pi(cm^2)$$

となります。

 

あとは底面積と合わせれば表面積となるので

$$24\pi + 9\pi=33\pi(cm^2)$$

かず先生
かず先生

な、長すぎる…

教科書で紹介されている基本的な考え方を使って解くと、このような手順になります。

途中で扇形の公式がでてきたりして、非常に複雑…

なので、円錐の表面積は苦手な人も多いです。

 

ゆい
ゆい

こんな大変な計算したくないので

簡単な公式覚えます!

かず先生
かず先生

僕もそれがおススメだな!

でも、円錐の基本的な考え方については頭に入れておいてね

 

それでは、円錐の表面積を求める問題を練習して公式を身につけていきましょう。

~円錐の表面積~

【底面積】

$$\pi \times (半径)^2$$

【側面積】

$$(母線)\times (半径) \times \pi$$

【表面積】

$$(底面積)+(側面積)$$

円錐の表面積【練習問題】

次の円錐の体積を求めなさい。

答えはこちら

【底面積】

$$\pi \times 4^2=16\pi(cm^2)$$

【側面積】

$$9\times 4\times \pi=36\pi(cm^2)$$

【表面積】

$$16\pi +36\pi=52\pi(cm^2)$$

 

次の円錐の体積を求めなさい。

答えはこちら

【底面積】

$$\pi \times 2^2=4\pi(cm^2)$$

【側面積】

$$4\times 2\times \pi=8\pi(cm^2)$$

【表面積】

$$4\pi +8\pi=12\pi(cm^2)$$

円錐の表面積【簡単な求め方まとめ】

ゆい
ゆい

円錐の表面積って

すっごく難しい問題だと思ってたけど

こんなに簡単な求め方があったんですね!!

かず先生
かず先生

受験生になると、ほとんどの人が簡単公式を覚えて使っていくようになるよ

みなさんも公式を使いこなして楽しちゃいましょ♪

~円錐の表面積~

【底面積】

$$\pi \times (半径)^2$$

【側面積】

$$(母線)\times (半径) \times \pi$$

【表面積】

$$(底面積)+(側面積)$$

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簡単公式のなぜ

でも…なんで側面積って

$$(母線)×(半径)×\pi$$

こんな公式で求めることができるんだろう…

 

そんな疑問を解決したい方のために補足をしておきます。

弧の長さと円周の長さが等しくなることから

$$2\times \pi \times (母線)\times \frac{(中心角)}{360}=2\times \pi \times (半径)$$

このような等式を作ることができます。これを式変形すると…

$$\frac{(半径)}{(母線)}=\frac{(中心角)}{360}$$

という関係式を作ることができます。

 

これを利用して、側面である扇形の面積を考えると

$$(円錐の側面積)=\pi \times (母線)^2 \times \frac{(中心角)}{360}$$

$$=\pi \times (母線)^2\times \frac{(半径)}{(母線)}$$

$$=\pi \times (母線)\times (半径)$$

このように計算することができるというわけです。

 

簡単公式のなぜについて疑問に思った方は参考にしてくださいね(^^)

ゆい
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かず先生
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