【中学数学】回転体の体積、表面積を求める問題を解説するぞ！

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積、表面積を求めなさい。

【体積】

体積は、\((底面積)\times(高さ)\)を計算すればよいので

$$\begin{eqnarray}(2\times 2\times \pi)\times 5=\color{red}{20\pi(cm^3)} \end{eqnarray}$$

【表面積】

$$(底面積)=2\times 2\times \pi=4\pi$$

$$(側面積)=4\pi \times 5=20\pi$$

以上より、表面積は

$$4\pi\times 2+20\pi=\color{red}{28\pi(cm^2)}$$

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積、表面積を求めなさい。

【体積】

円錐の体積は、\((底面積)\times (高さ)\times \frac{1}{3}\)で求めることができるので

$$\begin{eqnarray}(3\times 3\times \pi)\times 4\times \frac{1}{3}=\color{red}{12\pi(cm^3)} \end{eqnarray}$$

【表面積】

円錐の側面積は、\((母線)\times (底面の半径)\times \pi\)で求めることができます。これを利用して考えると

$$(側面積)=5\times 3\times \pi=15\pi$$

$$(底面積)=3\times 3\times \pi=9\pi$$

以上より、表面積は

$$9\pi+15\pi=\color{red}{24\pi(cm^2)}$$

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積、表面積を求めなさい。

【体積】

$$\frac{4}{3}\pi\times 3^3=\color{red}{36\pi(cm^3)}$$

【表面積】

$$4\pi\times 3^2=\color{red}{36\pi(cm^2)}$$

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積を求めなさい。

【体積】

円錐と円柱を足せば、全体の体積となります。

以上より全体の体積は

$$4\pi+16\pi=\color{red}{20\pi(cm^3)}$$

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積を求めなさい。

【体積】

全体の円柱から、空洞部分の円錐を引けばよいので

$$(円柱)=(5\times 5\times \pi)\times 9=225\pi(cm^3)$$

$$(円錐)=(5\times 5\times \pi)\times 9\times \frac{1}{3}=75\pi(cm^3)$$

以上より全体の体積は

$$225\pi-75\pi=\color{red}{150\pi(cm^3)}$$