数学

【中学数学】回転体の体積、表面積を求める問題を解説するぞ!

ゆい
ゆい

回転体って、ややこしくないですか??

かず先生
かず先生

それじゃ、問題ごとに解き方を確認してみよう!

というわけで、今回の記事では中学数学で学習する『回転体の体積、表面積』について解説していきます。

回転体の体積、表面積の求め方

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積、表面積を求めなさい。

正方形、長方形を回転させると円柱ができます。

つまり、上の図のような円柱の体積、表面積を求めれば良いということになります。

【体積】

体積は、\((底面積)\times(高さ)\)を計算すればよいので

$$\begin{eqnarray}(2\times 2\times \pi)\times 5=\color{red}{20\pi(cm^3)} \end{eqnarray}$$

【表面積】

$$(底面積)=2\times 2\times \pi=4\pi$$

$$(側面積)=4\pi \times 5=20\pi$$

以上より、表面積は

$$4\pi\times 2+20\pi=\color{red}{28\pi(cm^2)}$$

★円柱の体積の計算★リットルへの変換も考えてみよう!

★円柱の表面積の求め方★側面積の考え方をマスターしよう!

 

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積、表面積を求めなさい。

直角三角形を回転させると、円錐ができます。

つまり、上のような円錐の体積、表面積を求めればよいということですね。

【体積】

円錐の体積は、\((底面積)\times (高さ)\times \frac{1}{3}\)で求めることができるので

$$\begin{eqnarray}(3\times 3\times \pi)\times 4\times \frac{1}{3}=\color{red}{12\pi(cm^3)} \end{eqnarray}$$

【表面積】

円錐の側面積は、\((母線)\times (底面の半径)\times \pi\)で求めることができます。これを利用して考えると

$$(側面積)=5\times 3\times \pi=15\pi$$

$$(底面積)=3\times 3\times \pi=9\pi$$

以上より、表面積は

$$9\pi+15\pi=\color{red}{24\pi(cm^2)}$$

★円錐の表面積★簡単な求め方とその理由を解説するぞ!

 

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積、表面積を求めなさい。

半円を回転させると、球ができます。

~球の体積~

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

~球の表面積~

$$S=4\pi r^2$$

球の公式は、暗記しておかないといけません。

絶対に覚えておきましょう!

★球の体積の求め方★公式の覚え方と計算方法まとめ!

【体積】

$$\frac{4}{3}\pi\times 3^3=\color{red}{36\pi(cm^3)}$$

【表面積】

$$4\pi\times 3^2=\color{red}{36\pi(cm^2)}$$

 

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積を求めなさい。

これは長方形と三角形が組み合わさった図形です。

なので、回転をさせると次のような円錐と円柱が組み合わさった回転体ができあがります。

【体積】

円錐と円柱を足せば、全体の体積となります。

$$(円錐の体積)=(2\times 2\times \pi)\times 3\times \frac{1}{3}=4\pi(cm^3)$$
$$(円柱の体積)=(2\times 2\times \pi)\times 4=16\pi(cm^3)$$

以上より全体の体積は

$$4\pi+16\pi=\color{red}{20\pi(cm^3)}$$

 

次の図形を直線を軸として1回転してできる回転体の体積を求めなさい。

ゆい
ゆい

な、なんじゃこりゃ…

直線から図形が離れちゃってるから、どうしたものだろうかと悩みますね。

この場合には次のような立体になります。

円柱から円錐を取り除いた立体だ!

なので、円柱の体積から空洞部分の円錐の体積を引くと全体の体積を求めることができます。

【体積】

全体の円柱から、空洞部分の円錐を引けばよいので

$$(円柱)=(5\times 5\times \pi)\times 9=225\pi(cm^3)$$

$$(円錐)=(5\times 5\times \pi)\times 9\times \frac{1}{3}=75\pi(cm^3)$$

以上より全体の体積は

$$225\pi-75\pi=\color{red}{150\pi(cm^3)}$$

 回転体の体積、表面積まとめ!

ゆい
ゆい

たくさん問題があって大変だったけど

柱体、錐体の基本ができていれば何とかなるね!

ただ…計算ミスしないように注意しないとね

かず先生
かず先生

そうだね

ここの問題は計算ミスが多いから注意が必要!

特に、\(\pi\)のつけ忘れには気をつけようね

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ゆい
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