★球の体積の求め方★公式の覚え方と計算方法まとめ！

というわけで、今回の記事では球の公式の覚え方と使い方、入試問題で理解を深めるということで進めていきます。

球の公式と覚え方【体積・表面積】

確かにね…

球の公式は複雑で覚えにくいです。

 

なので、語呂合わせで覚えちゃいましょ♪

 

僕は覚えが悪い方だったので、学生時代この語呂合わせには助けられました(^^;)

覚えるのが苦手だという方は、語呂合わせを利用してみるといいですね！

 

体積の単位って㎤、㎥っていうように3乗がつくよね。

だから、公式も三乗のやつ

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

 

面積の単位って㎠、㎡っていうように2乗がつくよね。

だから、公式も二乗のやつ

$$S=4\pi r^2$$

このように関連付けておけば、体積と表面積を逆に覚えてしまうというミスも防げるね！

 

では、例題を通して公式の使い方について確認していきましょう。

球の体積、表面積の求め方【例題】

半径が2㎝ということから、\(r=2\)となります。

これを公式に代入して計算していけばOKです。

【体積】

$$V=\frac{4}{3}\pi \times 2^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 8$$

$$=\frac{32}{3}\pi (cm^3)$$

【表面積】

$$S=4\pi \times 2^2$$

$$=4\pi \times 4$$

$$=16\pi (cm^2)$$

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球の公式【入試問題】

 

 

 

 

球の体積公式なぜ？積分を使って説明

これは完全に中学生のレベルを飛び出してしまいます。

だから、中学生の方は公式を丸暗記してしまえばOKです。

高校数学をしっかりと学習した方で、球の体積公式のなぜ？について知りたい方だけ参考にしていってください。

 

 

回転体を利用して、球の体積を求めることができます。

上のような図をイメージして、半径\(r\)となる体積を考えると

$$V=\int_{-r}^{r} \pi(\sqrt{r^2-x^2})^2 dx$$

$$=2\int_0^r \pi(\sqrt{r^2-x^2})^2 dx$$

$$=2\pi\int_0^r (r^2-x^2) dx$$

$$=2\pi \left[ r^2x -\frac{ x^3 }{ 3 } \right]_0^r$$

$$=2\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)$$

$$=\frac{4}{3}\pi r^3$$

 

球の公式【まとめ】

入試問題でも紹介しましたが、球と円柱、球と円錐といったように図形を組み合わせた融合問題が出題されることもあります。

球の公式だけを理解していても解けないように作られているので、入試までには図形全体の公式をしっかりと身につけておきたいですね！

 

 

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