平方根(ルート)

【中学数学】素因数分解の解き方をサクッと解説するぞ!

ゆい
ゆい

素因数分解の解き方を教えてください!!

というわけで、今回の記事では「素因数分解の解き方」についてサクッと解説していきます。

かず先生
かず先生

とても簡単な内容となっているので、理解を深めて得点アップだ!

素因数分解の解き方

素因数分解とは、自然数を素数の積として表すことをいいます。

ゆい
ゆい

ちょっと何言ってるかわかんないです…

たしかに…文章で説明しても伝わりにくいですね。

具体例を見ながら確認していきましょう。

60を素因数分解しなさい。

割り算の逆のような形で、60を素数で割っていきます。

素数…1とその数自身でしか割り切ることができない数。

【例】2,3,5,7,11…

1は素数ではないから注意です。

次は、30を素数で割っていく。この作業を最後が素数になるまで続けていきます。

そしたら、最後にこの部分を見てください。

ここに出てきた数をとってきて

$$60=2\times 2\times 3\times 5=\color{red}{2^2\times 3\times 5}$$

これで素因数分解の完成となります!

ことのときに出てきた2、3、5といった数のことを素因数といいます。

 

ゆい
ゆい

素数を使って、分解しているから

素因数分解っていうんだね!

 

では、素因数分解の練習をやってみましょう。

150を素因数分解しなさい。

$$\begin{eqnarray}150&=&2\times 3\times 5\times 5\\[5pt]&=&2\times 3\times 5^2 \end{eqnarray}$$

答え

$$2\times 3\times 5^2$$

 

220を素因数分解しなさい。

$$\begin{eqnarray}220&=&2\times 2\times 5\times 11\\[5pt]&=&2^2\times 5\times 11 \end{eqnarray}$$

答え

$$2^2\times 5\times 11$$

ゆい
ゆい

なんか、素因数分解って簡単だね♪

割り算するだけだもん!

かず先生
かず先生

でも、割るのは素数だけだから気を付けてね

まちがっても4とか6のように素数じゃない数で割っちゃダメだからね!

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素因数分解を使った問題

ここからは素因数分解を利用した問題について解説していきます。

54にできるだけ小さい自然数\(n\)をかけて、ある自然数の2乗にしたい。

このときの自然数\(n\)を求めなさい。また、どんな自然数の2乗になるのか答えなさい。

難しく見える問題ですが、素因数分解を利用すると簡単に解くことができます。

まずは、54を素因数分解します。

$$54=2\times 3\times 3\times 3$$

そして、でてきた素因数を2乗のペアにまとめていきます。

$$54=3^2\times 2\times 3$$

すると、2乗のペアになれなかった数がでてきます。

今回であれば、2と3が1つずつ余ってしまいました。

 

なので、2と3がともに2乗のペアが作れるように2と3を1つずつ、つまり6を掛け算してやります。すると、次のような式になります。

以上より

自然数6をかけることによって、18の2乗にすることができる。

ということが分かりました。

答え

自然数\(n\) : 6

どんな数の2乗:18

 

ゆい
ゆい

つまり…

素因数分解をして、全部が2乗の形になればOK

だから、2乗になれなかった数を補ってあげればいいってことだね

かず先生
かず先生

その通り!

ある自然数の2乗 ⇔ 素因数分解したときに全部が2乗のペアで表せる

ということなんだ。

だから、2乗のペアになれなかったのはどんな数なのかを求めてあげればいいってことだね!

では、練習問題で理解を深めておきましょう。

96にできるだけ小さい自然数\(n\)をかけて、ある自然数の2乗にしたい。

このときの自然数\(n\)を求めなさい。また、どんな自然数の2乗になるのか答えなさい。

まずは、96を素因数分解して2乗のペアを作っていきます。

$$\begin{eqnarray}96&=&2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\\[5pt]&=&2^2\times 2^2\times 2\times 3 \end{eqnarray}$$

2と3が1つずつ余ったことが分かります。

よって、2と3を1つずつ、つまり6を掛ければ良いということになります。

$$\begin{eqnarray}&&2^2\times 2^2\times 2^2\times 3^2\\[5pt]&=&(2\times 2\times 2\times 3)^2\\[5pt]&=&24^2 \end{eqnarray}$$

答え

自然数\(n\) : 6

どんな数の2乗:24

 

 

240にできるだけ小さい自然数\(n\)をわって、ある自然数の2乗にしたい。

このときの自然数\(n\)を求めなさい。また、どんな自然数の2乗になるのか答えなさい。

「わって」という場合も考え方は同じです。

まずは、240を素因数分解して2乗のペアを作っていきます。

$$\begin{eqnarray}240&=&2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 5\\[5pt]&=&2^2\times 2^2\times 3\times 5 \end{eqnarray}$$

3と5が1つずつ余ったことが分かります。

よって、3と5を1つずつ、つまり15を割ればば良いということになります。

割るということは、このように消えてしまうことになりますね。

$$\begin{eqnarray}&&2^2\times 2^2\times 3\times 5\div 3 \div5\\[5pt]&=&2^2\times 2^2 \end{eqnarray}$$

よって

$$\begin{eqnarray}&&2^2\times 2^2\\[5pt]&=&(2\times 2)^2\\[5pt]&=&4^2 \end{eqnarray}$$

答え

自然数\(n\) : 15

どんな数の2乗:4

ゆい
ゆい

なるほど!

考え方はちょっと難しかったけど

答えを求めるのは簡単だね!

素因数分解の解き方まとめ!

かず先生
かず先生

以上、素因数分解についてサクッと解説してきたけど理解してもらえたかな?

素因数分解の解き方については、割り算の計算をするだけだから簡単だね!

利用問題はちょっと難しく感じるかもしれないけど、やり方が分かったら楽勝だ!

ゆい
ゆい

OK,OK~♪理解したよ!

利用問題はやり方を忘れないうちに、たくさん練習しておくね!

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