【中学数学】式の展開の公式をサクッと5分で理解しよう！

というわけで、今回の記事では「式の展開公式をパターンごとに解説！」していきます。

覚えておきたい公式は以下の通り！

式の展開の基礎

ポイントは分配法則です。

割り算の場合には、逆数にして掛けるとすれば良いですね。

以上、3つの分配法則は式の展開の基礎となるので必ずできるようにしておきましょう。

では、例題を見ながら計算方法を確認しておきましょう。

かっこの外にある\(a\)を分配法則を用いて、かっこ内にかけていきます。

$$\begin{eqnarray}a(2a+3b)=2a^2+3ab \end{eqnarray}$$

 

割り算の場合には、逆数にして掛け算に変えてから計算を始めると分かりやすいです。

$$\begin{eqnarray}(6x^2+12xy)\div 3x&=&(6x^2+12xy)\times \frac{1}{3x}\\[5pt]&=&6x^2\times \frac{1}{3x}+12xy\times \frac{1}{3x}\\[5pt]&=&2x+4y \end{eqnarray}$$

 

かっことかっこの計算は、分配法則の矢印がたくさんになります。

途中で計算ミスをしないよう、丁寧に式を書いていきましょう。

$$\begin{eqnarray}(x+1)(3x+2)&=&3x^2+2x+3x+2\\[5pt]&=&3x^2+5x+2 \end{eqnarray}$$

分配法則を使って式を展開した後にも、同類項があれば必ずまとめるようにしてくださいね。

 

乗法公式の使い方

展開したい式にある特徴があるとき、乗法公式を用いてちょっとラクに展開していくことができます。

それぞれの乗法公式について確認していきましょう。

\((x+a)(x+b)\)

こちらの乗法公式は、かっこ内に同じ項が含まれている場合に使うことができます。

使い方は単純！

足したものを真ん中、掛けたものを右に持ってくればOKです。

これは例題を見ながら確認したほうが理解しやすいので、実際に問題を使って解説していきます。

1と4に注目！

それぞれの和は5、積は4となります。

和が真ん中、積が右なので

$$(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$$

となります。

 

2と－5に注目！

それぞれの和は\(2+(-5)=-3\)、積は\(2\times (-5)=-10\)となります。

和が真ん中、積が右なので

$$(x+2)(x-5)=x^2-3x-10$$

となります。

 

最後にもう1問！

ちょっと注意しておきたいやつをやっておこう。

これは今までの式と違って、それぞれのかっこ内にある同じ項が\(x\)ではなく、\(2x\)となっていますね。

この場合には、次のような式になります。

$$\begin{eqnarray}(2x+3)(2x-1)&=&(2x)^2+(3-1)\times 2x-3\\[5pt]&=&4x^2+4x-3 \end{eqnarray}$$

今まで、\(x\)となっていた部分がすべて\(2x\)に変わっていますね。

 

\((x+a)^2、(x-a)^2\)

こちらの乗法公式は、かっこに二乗がついているときに使うことができます。

使い方は簡単！

2乗　⇒　2倍して掛ける　⇒　2乗

この順に計算すればOKです。

これも例題を使ってやり方を確認しておきましょう。

2乗　⇒　2倍して掛ける　⇒　2乗

この順に計算をしていきましょう。

まずは、最初の項を2乗 ⇒ \(x^2\)

次に、2倍して掛ける ⇒ \(2\times x \times 3=6x\)

そして、最後の項を2乗 ⇒ \(3^2=9\)

これをつなげていけば展開の完了です。

$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$

慣れてくるとスラスラできるようになりますよ(^^)

 

まずは、最初の項を2乗 ⇒ \(x^2\)

次に、2倍して掛ける ⇒ \(2\times x \times (-8)=-16x\)

そして、最後の項を2乗 ⇒ \((-8)^2=64\)

よって、\((x-8)^2=x^2-16x+64\)

 

まずは、最初の項を2乗 ⇒ \((2x)^2=4x^2\)

次に、2倍して掛ける ⇒ \(2\times 2x \times (-3y)=-12xy\)

そして、最後の項を2乗 ⇒ \((-3y)^2=9y^2\)

よって、\((2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2\)

\((x+a)(x-a)\)

こちらの乗法公式は、2つのかっこ内の項が１つ符号が異なるだけという形になっているときに使うことができます。

計算方法は簡単です。

このように分配法則の最初と最後だけをやればOKです。

 

それでは例題を確認しておきましょう。

分配法則の最初と最後だけを計算すればよいので

$$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$$

となります。

 

分配法則の最初と最後だけを計算すればよいので

$$(2x-y)(2x+y)=(2x)^2-y^2=4x^2-y^2$$

となります。

 

ちょっと見た目が分かりにくいので、かっこ内の順番を整えてから考えると良いです。

$$\begin{eqnarray}(-10+x)(x+10)&=&(x-10)(x+10)\\[5pt]&=&x^2-10^2\\[5pt]&=&x^2-100 \end{eqnarray}$$

 

そうですね。乗法公式の中でも一番簡単なのがコレですね(^^)

式の展開公式まとめ！

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