【平方根の利用】正方形の対角線、丸太、自然数を求める解き方は？いろんな利用問題を解説！

というわけで、今回の記事では平方根の利用問題について解説していきます。

平方根の利用問題とは…

などなど

平方根の性質を利用して、さまざまな場面で問題を解いていこうというものです。

 

では、それぞれのパターンについて問題の解き方を解説していきます。

【平方根の利用】自然数となるような\(n\)の値①

ルートの中身が2乗の形で表すことができれば、ルートをなくすことができます。

つまり、\(\sqrt{24n}\)の中身である\(24n\)が2乗の形で表せれば、ルートがなくなり自然数になるということです。

 

24を素因数分解すると

$$24=2^3\times 3$$

このように表すことができます。

 

よって

$$\begin{eqnarray}\sqrt{24n}&=&\sqrt{2^3\times 3\times n}\\&=&\sqrt{2^2\times 2\times 3\times n}\\&=&2\sqrt{2\times 3\times n}\end{eqnarray}$$

このような形に変形することができます。

ルートをなくして自然数の形にするためには、2と3が１つずつ足りないですね。

 

だったら、2と3を1つずつ加えてやればいいじゃないか！

ということで、\(n\)として2と3を１つずつ

つまり、6を掛けてやれば全部が2乗になり自然数の形にすることができると分かります。

$$\begin{eqnarray}2\sqrt{2\times 3\times \color{red}{2\times 3}}&=&2\sqrt{2^2\times 3^2}\\&=&2\times 2\times 3\\&=&12 \end{eqnarray}$$

 

以上より、答えは \(n=6\) となります。

ちょっと考え方をまとめておきましょう。

ルートをなくして自然数にするためには、ルートの中身が2乗の形になる必要がある。

次に、数字の部分を素因数分解して2乗になれていない数を見つける。

2乗になれなかった数を補うために、\(n\)がどんな数であればよいかを考える。

以上！

 

 

【平方根の利用】自然数となるような\(n\)の値②

ルートの中身が

$$\sqrt{1}=\sqrt{1^2}=1$$

$$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$$

$$\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$$

のように、2乗の形で表される値になればルートをなくして自然数にすることができます。

では、\(15-a\) を計算してこれらの数にするためには \(a\) の値をどうすればよいのか考えていきましょう。

まずは、\(15-a=1\) になる場合

$$\begin{eqnarray}15-a&=&1\\-a&=&1-15\\-a&=&-14\\a&=&14 \end{eqnarray}$$

 

\(15-a=4\) になる場合

$$\begin{eqnarray}15-a&=&4\\-a&=&4-15\\-a&=&-11\\a&=&11 \end{eqnarray}$$

 

\(15-a=9\) になる場合

$$\begin{eqnarray}15-a&=&9\\-a&=&9-15\\-a&=&-6\\a&=&6 \end{eqnarray}$$

 

\(15-a=16\) になる場合

$$\begin{eqnarray}15-a&=&16\\-a&=&16-15\\-a&=&1\\a&=&-1 \end{eqnarray}$$

おっと…\(a\) の値がマイナスになってしまったので、これ以上はなさそうですね。

 

ということで、\(15-a\) を計算して2乗の形にしたい場合

$$a=14, 11, 6$$

が答えとなります。

 

このように、ルートの中身が1,4,9,16…といった2乗で表すことができる数になるためにはどうすればよいのかを順々に考えていきましょう。

 

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【平方根の利用】正方形の1辺の長さ

たしかにね…

\(\sqrt{2}=1.4142\cdots\)

というように、ルートは無限に続いていく小数の値です。

そんなものをどうやって図示すればいいんだ！

と、叫びたくなる気持ちも分かりますが

正方形と平方根の考え方を利用すれば、簡単に作図することができます。

 

正方形の面積って、次のような関係が成り立ちます。

$$(正方形の面積)=(一辺)\times (一辺)$$

$$(正方形の面積)=(一辺)^2$$

$$(一辺)=(面積の正の平方根)$$

 

つまり、\(\sqrt{2}\)㎝を作図したいのであれば、面積が2㎠の正方形を作図すればよいということになります。

 

というわけで、結論から言うと

このように正方形を作れば、面積が2㎠となっており1辺の長さを\(\sqrt{2}\)㎝とすることができます。

 

次に、\(\sqrt{5}\)㎝を考えてみましょう。

面積\(5\)㎠となる正方形を作図すればよいので、次のようになります。

 

【平方根の利用】丸太から正方形を作る

直径20㎝の丸太から、できるだけ大きな正方形を作ろうとすると、このように対角線の長さが20㎝の正方形ができあがります。

正方形は、ひし形でもあるので

$$(対角線)\times (対角線)\times \frac{1}{2}$$

このように面積を求めることができます。

 

よって、正方形の面積は

$$正方形の面積=20\times 20\times \frac{1}{2}=200(㎠)$$

となります。

 

正方形の1辺の長さは、面積の平方根によって求めることができるので

200の正の平方根が1辺の長さとなります。

$$200の正の平方根=\sqrt{200}=10\sqrt{2}cm$$

よって、１辺の長さは\(10\sqrt{2}\)㎝が答えとなります。

【平方根の利用】まとめ！

平方根の利用では

2乗の形になれば、ルートがなくなる。

正方形の1辺の長さは、面積の平方根になっている。

という点が大切なポイントでしたね。

これを頭に入れておいて、いろんな問題に挑戦していきましょう＾＾

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