平面図形、空間図形

【扇形の半径の求め方】計算のやり方をイチから解説していくぞ!

ゆい
ゆい

扇形の半径って、どうやって求めるの?

そんな公式あったっけ…?

ということで

扇形の弧の長さや面積を求めることには慣れている人でも…

え、半径!?

どうやって求めるの…?

 

と、なってしまうことが多いです。

いざというときに困ってしまわないよう、半径を求める練習をしておきましょう。

扇形の半径の求め方【計算】

【問題】

中心角が120°、弧の長さが\(6\pi\)㎝である扇形の半径を求めなさい。 

弧の長さが与えられているので、扇形の弧の長さを求める公式を使って考えていきましょう。

~扇形の弧の長さの求め方~

$$弧の長さ=2\pi r\times \frac{a}{360}$$

 

まずは、求めたい半径の大きさを\(x\)㎝とします。

すると、半径\(x\)㎝で中心角120°の扇形の弧の長さは

$$2\pi \times x \times \frac{120}{360}=\frac{2}{3}\pi x$$

と表すことができます。

そして、弧の長さが\(6\pi\)㎝になるはずだから

$$\frac{2}{3}\pi x=6\pi$$

という方程式が完成します。あとは、これを解いていけば\(x\)の値(半径)を求めることができます。

 

では、この方程式の解き方を順にみていきましょう。

まずは、両辺から\(\pi\)を消しましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{3}\pi x&=&6\pi\\[5pt] \frac{2}{3}x&=&6\end{eqnarray}$$

次は、分数を消すために両辺に3を掛けましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{3}x\times 3&=&6\times 3\\[5pt]2x&=&18\end{eqnarray}$$

ここまでくれば、\(x\)の係数である2で両辺を割ってやれば完成です。

$$\begin{eqnarray}x&=&18\div2\\[5pt]x&=&9\end{eqnarray}$$

よって、求めたい半径の大きさは9㎝となります。

答え

$$9㎝$$

かず先生
かず先生

計算手順がすこし複雑だから

たくさん練習して慣れておこう!

というわけで、練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題に挑戦!

【問題】

中心角が90°、弧の長さが\(\frac{3}{2}\pi\)㎝である扇形の半径を求めなさい。 

答えはこちら

答え

$$3㎝$$

$$\begin{eqnarray}2\pi x\times \frac{90}{360}&=&\frac{3}{2}\pi\\[5pt] \frac{1}{2}\pi x&=&\frac{3}{2}\pi \\[5pt]\frac{1}{2}x&=&\frac{3}{2}\\[5pt]x&=&3\end{eqnarray}$$

 

【問題】

中心角が240°、弧の長さが\(8\pi\)㎝である扇形の半径を求めなさい。 

答えはこちら

答え

$$6㎝$$

$$\begin{eqnarray}2\pi x\times \frac{240}{360}&=&8\pi\\[5pt] \frac{4}{3}\pi x&=&8\pi \\[5pt]\frac{4}{3}x&=&8\\[5pt]4x&=&24\\[5pt]x&=&6\end{eqnarray}$$

 

【問題】

中心角が30°、弧の長さが\(2\pi\)㎝である扇形の半径を求めなさい。 

答えはこちら

答え

$$12㎝$$

$$\begin{eqnarray}2\pi x\times \frac{30}{360}&=&2\pi\\[5pt] \frac{1}{6}\pi x&=&2\pi \\[5pt]\frac{1}{6}x&=&2\\[5pt]x&=&12\end{eqnarray}$$

 

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扇形の半径の求め方【発展】

【発展問題】

中心角が120°、面積が\(3\pi\)㎠である扇形の半径を求めなさい。 

かず先生
かず先生

面積から半径を求める場合には、ちょっと発展的になります。

それは、二次方程式を利用するからです。

なのでこの問題は中学3年生向けってことになるね。

では、中学3年生向けに解き方を解説していきます。

~扇形の面積の求め方~

$$扇形の面積=\pi r^2\times \frac{a}{360}$$

求めたい半径の大きさを\(x\)㎝とすると

半径が\(x\)㎝で中心角が120°の扇形の面積は

$$\pi x^2\times \frac{120}{360}=\frac{1}{3}\pi x^2$$

と、表すことができます。

そして、面積が\(3\pi\)㎠になるはずだから

$$\frac{1}{3}\pi x^2=3\pi$$

という二次方程式が完成します。あとは、これを解いていけば\(x\)の値(半径)を求めることができます。

 

この二次方程式の解き方をみていきましょう。

まずは、両辺から\(\pi\)を消しましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{3}\pi x^2&=&3\pi\\[5pt]\frac{1}{3}x^2&=&3 \end{eqnarray}$$

次に、両辺に3をかけて分数を消します。

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{3}x^2\times 3&=&3\times 3\\[5pt]x^2&=&9 \end{eqnarray}$$

最後に、二次方程式の平方根の考えを使った解き方を用いて

$$\begin{eqnarray}x^2&=&9 \\[5pt]x&=&\pm 3\end{eqnarray}$$

\(x>0\)となるから、\(x=3\)

最後に、±が出てきますが半径の大きさはマイナスにはなりませんので、プラスのほうを答えに選びましょう。

答え

$$3㎝$$

かず先生
かず先生

こんな感じで、面積から半径を求める場合には二次方程式を使って求めていきましょう!

扇形の半径の求め方【まとめ】

ゆい
ゆい

半径を求めるために、新しい公式を覚えたりする必要はないってことだね!

安心したよ♪

かず先生
かず先生

そうだね!

だけど、計算はちょっと複雑だったりするから

たくさん計算練習しておこうね!

 

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