一次関数

【完全版】一次関数のグラフから利用問題まで解き方まとめ!

この記事では、中学で学習する一次関数について

一次関数の基礎、グラフの書き方、式の作り方、文章問題などなど

基礎から応用にいたるまで問題の解き方をまとめていきます。

一次関数の問題で困ったことがあれば、この記事を参考にしてもらえると嬉しいです(^^)

かず先生
かず先生

イチから丁寧に解説していくから、がんばっていこう!

一次関数とは

一次関数とは

\(y\)が\(x\)の一次式で表されるとき、\(y\)は\(x\)の一次関数といいます。

一次関数は、一般的に次のような形で表されます。

$$\large{y=ax+b}$$

一次関数の式にでてくる\(a\)のことを傾き(かたむき)

\(b\)のことを切片(せっぺん)といいます。

あとで一次関数のグラフや式をつくっていくときに、とっても大切な言葉になるから覚えておきましょう!

 

ゆい
ゆい

一次式…? \(y=ax+b\)…??

と、まぁ、説明だけでは分かりにくい部分もあるので具体例を見てみましょう。

では、次の式の中から一次関数の式を見つけてみましょう。

【練習問題】

次の①~④の式の中から、一次関数の式をすべて選びなさい。

  1. \(y=3x+1\)
  2. \(\displaystyle{y=\frac{5}{x}}\)
  3. \(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x}\)
  4. \(y-4=2x^2\)

まず、答えからお伝えしておくと…①③が一次関数の式となります。

①\(y=3x+1\) は \(y=ax+b\) の形そのままなので分かりやすいですね。

②\(\displaystyle{y=\frac{5}{x}}\) は\(x\)が分母にあり、反比例の式を表しています。

③\(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x}\)はパッと見たところ、一次関数ではないように見えますが…これは\(a=-\frac{1}{2}, b=0\) になっている一次関数の式です。

④\(y-4=2x^2\) は式を変形して、\(y=2x^2+4\) の形にすると\(x\)が二乗になっていて、二次式になっていることがわかります。よって、④は二次関数ってことなのでダメ!

答え

①\(y=3x+1\) ③\(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x}\)

 

かず先生
かず先生

\(y=ax+b\) という形で表されているものが一次関数ですね!

\(b=0\) になっていて、\(y=ax\) という形であっても一次関数ということができるので、注意しておきましょう。

 

一次関数の増加量(変化の割合)

一次関数の変化の割合

$$\begin{eqnarray}変化の割合&=&\frac{yの増加量}{xの増加量}\\[5pt]&=&a(傾き) \end{eqnarray}$$

$$(yの増加量)=(変化の割合)\times (xの増加量)$$

増加量や変化の割合の問題では、上で紹介した式を覚えておきましょう。

 

変化の割合とは、\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量を表したものです。

数学っぽい表現で難しく思えてしまいますが、単純なことです。

どれくらいのペースで増えたり、減ったりしますか??

ということを表しているのが変化の割合です。

 

グラフを書くことで確かめることができるのですが、一次関数は常に一定の割合で増えたり、減ったりするという特徴を持っています。

なので、一次関数の変化の割合は常に一定であり、さらには傾き\(a\) と等しくなります。

これは結構大事なことなのでしっかりと覚えておきましょう。

一次関数の変化の割合は常に一定、傾き\(a\) に等しい。

 

では、一次関数の変化の割合を扱った問題を見てみましょう。

【練習問題】

一次関数 \(y=-3x-2\) で、\(x\)の値が3から5まで増加するとき、次の問いに答えなさい。

(1)\(x\) の増加量を求めなさい。

(2)\(y\) の増加量を求めなさい。

(3)変化の割合を求めなさい。

増加量っていうのは、どれくらい数が増えた?減った?ということです。

(1)では、\(x\)の値が3から5まで増加したとき、\(x\)はどれくらい増えた?ということを問うています。

これは簡単だね!

$$5-3=2$$

このように、変化後の値から変化前の値を引いてやれば増加量を求めることができます。

答え(1)

$$2$$

(2)\(y\) の増加量を求める場合には、まず\(y\) の値を求める必要があります。ということで一次関数の対応表を作ってみましょう。

$$x$$ $$3$$ $$\cdots$$ $$5$$
$$y$$ $$\color{red}{-11}$$ $$\cdots$$ $$\color{red}{-17}$$

すると、\(y\) の増加量は \(-17-(-11)=-6\) ということがわかります。

\(y\)の方は数が減っているので、増加量はマイナスになってしまいますね。

答え(2)

$$-6$$

(3)変化の割合を求めてみましょう。

(1)(2)より\(x, y\)の増加量を求めているので、これを変化の割合の公式に当てはめてみます。

$$変化の割合=\frac{-6}{2}=\color{red}{-3}$$

すると、変化の割合は \(-3\) になることが求まりました!

 

そして、ここで注目しておきたいのが…

さきほど求めた変化の割合は、\(y=-3x-2\) の傾き\(-3\) と一致しているってことが分かるね!

かず先生
かず先生

一次関数の変化の割合を求めたければ、傾きを見れば一発で分かるよ!

というわけです。

なので、わざわざ変化の割合の式に当てはめる必要はありません。

一次関数の式を見て、傾きを読み取ればOKです。

答え(3)

$$-3$$

 

では、もう1問だけやって変化の割合は完成にしましょう。

【練習問題】

一次関数 \(y=-3x-2\) で、\(x\)の増加量が5であるときの\(y\) の増加量を求めなさい。

\(y\) の増加量を求めるには

$$(yの増加量)=(変化の割合)\times (xの増加量)$$

を使うという方法もあります。

 

\(y=-3x-2\)の式から、傾き\(-3\)ということが読み取れるので

$$(yの増加量)=-3 \times 5=-15$$

となります。

答え

$$-15$$

一次関数のグラフの特徴と書き方

一次関数のグラフ

一次関数は、直線のグラフになります。

また、一次関数のグラフは切片\(b\)の部分で交わります。

グラフの書き方(手順)

一次関数のグラフ書き方
  1. 式から傾きと切片を読み取る
  2. 切片の点をとる
  3. 傾きから点をとる
  4. ②③の点を線で結ぶ
  5. 完成!

では、これらの手順にそって一次関数のグラフを書いてみましょう。

次の一次関数のグラフをかきなさい。

$$y=2x-3$$

まずは、式から傾きと切片を読み取ります。

すると、傾き\(2\)、切片\(-3\) ということがわかりますね。

 

次に、\(y\)軸上に切片\(-3\)の点を取ります。

次に傾きをみましょう。

傾きの値を分数の形にします。

$$2=\frac{2}{1}$$

そして、傾きの分母の数だけ右、分子の数だけ上下に動いたところに点をとります。

今回の式であれば、右に1いって上に2上がったところに点をとります。

 

そして、切片と傾きから2点を取ることができれば線で結んで完成です!

かず先生
かず先生

傾きを分数にして考えるというところがポイントだね!

そこをマスターしたら、簡単にグラフが書けるようになるよ

他にもグラフの例を見ておきましょう。

傾きが分数になっていても恐れることはありませんね。

むしろ、傾きが初めから分数になっている方が動きが読み取りやすくて楽ですね!

 

傾きがマイナスになっている場合には、下に動いていくようになるので注意だね。

切片が分数の場合

一次関数のグラフを書く問題の中でも、ちょっと応用なのがこれ。

【練習問題】

次の一次関数のグラフを書きなさい。

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$$

切片が分数になっているパターンです。

ゆい
ゆい

切片の点がとれないんですけどー

なので、こういう場合にはちょっとひと手間を加えます。

切片が正確にとれないので…対応表を使って、\(x,y\)座標ともに整数となる点を見つけます。

$$x$$ $$0$$ $$\color{red}{1}$$ $$2$$
$$y$$ $$-\frac{1}{2}$$ $$\color{red}{1}$$ $$\frac{5}{2}$$

あ、\((1,1)\) を通るぞ!ってことがわかるね。

こうやって整数の座標を見つけたら、切片の代わりに点をとりましょう。

 

ここからは通常通り!

傾きから点をとって、線で結べば完成です。

かず先生
かず先生

切片が分数の場合には、\(x,y\)座標がともに整数となっているところを見つけて点をとりましょう!

二元一次方程式のグラフ

一次関数の単元では、二元一次方程式をグラフにするという問題もあります。

二元一次方程式とは、次のような式のことです。

$$4x-2y+6=0$$

$$x-5=0$$

$$3y+6=0$$

ゆい
ゆい

え…傾きと切片がわからないんですけど…

たしかに、その通りだね。

なので、二元一次方程式をグラフにする場合には、ちょっと式を変形して傾きと切片が調べるところからスタートしていきます。

まずは、こちらの二元一次方程式を考えてみましょう。

【練習問題】

次の二元一次方程式をグラフにしなさい。

$$4x-2y+6=0$$

まずは、一次関数の見慣れた式にすべく、\(y=\cdots\)の形になるよう式変形していきましょう。

$$\begin{eqnarray} 4x-2y+6&=&0\\[5pt]-2y&=&-4x-6\\[5pt]y&=&(-4x-6)\div(-2)\\[5pt]y&=&2x+3\end{eqnarray}$$

そうすると、傾き\(2\) 切片\(3\) の一次関数とみることができます。

ゆい
ゆい

なるほど!

式を変形すれば、今まで通りグラフを書くことができるね

 

では、次はちょっと変わったやつを見ておこう!

【練習問題】

次の二元一次方程式をグラフにしなさい。

$$x-5=0$$

$$3y+6=0$$

ゆい
ゆい

あれ…文字が1つしかないんだけど…

そうだね、このように\(x,y\)が1つしかないようなグラフも扱っていくようになります。

だけど、これはすっごく簡単だ!

まずは、\(x-5=0\) のグラフを書いてみよう。

$$\begin{eqnarray}x-5&=&0\\[5pt]x&=&5 \end{eqnarray}$$

このように式変形をして、\(x=\cdots\)の形を作りましょう。

そして、\(x\)軸上の5となるところに点をとります。

 

あとは、縦に線を引けば完成です!

この直線上の点は、\((5,0) (5,1) (5,2)\cdots\) のように\(x\)座標が全て\(5\)になっていることがわかるね!

 

次に、\(3y+6=0\) のグラフを書いてみましょう。

$$\begin{eqnarray}3y+6&=&0\\[5pt]3y&=&-6\\[5pt]y&=&-2 \end{eqnarray}$$

かず先生
かず先生

\(x=\cdots\) なら縦線

\(y=\cdots\) なら横線

簡単だね!

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グラフから式を求める

グラフから式を求める
  1. \(y\)軸上の点から切片を読み取る
  2. どれだけ変化しているかをみて傾きを読み取る
  3. 傾きと切片から一次関数の式完成!

では、上の手順にそってグラフから一次関数の式を求めてみましょう。

グラフから式を求める【基本】

【練習問題】

次の直線の式を求めなさい。

まずは、\(y\)軸上の点から切片を読み取りましょう。

すると、この直線の切片は\(1\)であることがわかりますね。

 

次に、切片を基準に直線がどれくらい進んでいるのかを読み取りましょう。

すると、右に3進んで上に1進んでいることが分かりますね!

よって、この直線の傾きは\(\frac{1}{3}\) と求まりました。

 

傾き\(\frac{1}{3}\) 、切片\(1\) ということから

直線の式は、\(y=\frac{1}{3}x+1\) となります。

答え

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

ゆい
ゆい

グラフの書き方がわかってたら、式を作るのも簡単だね!

 

では、練習問題を用意しておくので理解を深めておきましょう!

【練習問題】

次の直線の式を求めなさい。

答えはこちら

$$(1) y=-x+4$$

$$(2) y=\frac{3}{2}x-2$$

$$(3) y=-4x+1$$

切片がわからないグラフ【発展】

【練習問題】

次の直線の式を求めなさい。

ゆい
ゆい

あれ…切片がわからんくね!?

かず先生
かず先生

そうだね…これはちょっと発展になっちゃうんだけど

テストに出題されることもあるから、しっかりと理解しておこう

 

まずは、\(x,y\)座標がともに整数となっている点を1つ見つけます。

その点を基準に、グラフがどれくらい変化しているかを読み取りましょう。

すると、右に1進み上に5進んでいるので、傾きが\(5\)になることが分かります。

 

この直線は、傾きが\(5\)、\((3,1)\)を通る。

このことから直線の式を作っていきます。

傾きが\(5\) ということから、\(y=5x+b\) という式が作れます。

これに\((3,1)\) を通るということから、\(x=3, y=1\) を代入します。

$$\begin{eqnarray}1&=&5\times 3+b\\[5pt]1&=&15+b\\[5pt]-14&=&b \end{eqnarray}$$

このようにして、切片が\(-14\) になることがわかりました。

 

以上より、この直線は傾き\(5\) 切片\(-14\) ということが読み取れたので

$$y=5x-14$$

という式になります。

答え

$$y=5x-14$$

かず先生
かず先生

切片が読み取れない場合は、基準となる点を決めてから考えていこう!

切片は計算で求めることになるので、計算練習が必要だね

一次関数の変域を求める

変域とは

\(x,y\)の変数がとりうる値の範囲を変域といいます。

グラフ上で見ると\(x\)の変域は、ヨコの範囲。

\(y\)の変域は、タテの範囲と考えることができます。

変域を求める問題の解き方

【練習問題】

\(y=2x+1\)について、\(x\)の変域が\(-1≦x≦2\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。

まずは、\(y=2x+1\) のグラフを書きましょう。

このグラフを\(-1≦x≦2\) の部分で切り取ります。

 

すると…

このように縦の範囲が、\(-1\)から\(5\)になることがわかりますね。

よって、\(y\)の変域は \(-1≦y≦5\) となります。

答え

$$-1≦y≦5$$

ゆい
ゆい

変域の意味は分かったけど…

グラフを書いて考えるのはメンドイなぁ…

ごもっともですw

一次関数の変域を求める場合には、わざわざグラフを書かなくても簡単に求めることができます。

\(-1≦x≦2\)の両端である\(x=-1\),\(x=2\) の\(y\)座標を求めます。

\(x=-1\)のとき、\(y=-2+1=-1\)

\(x=2\)のとき、\(y=4+1=5\)

それぞれの\(y\)座標が求まったら、小さいほうを左に、大きいほうを右になるよう

\(y小≦y≦y大\) と書けば\(y\)の変域が完成です!

よって、\(-1≦y≦5\) となるわけですね。

\(x\)の変域の両端の\(y\)座標を求める。

その\(y\)座標の大小を比べて

$$(y座標の小さいほう)≦y≦(y座標の大きいほう)$$

これで\(y\)の変域が完成です!

【練習問題】

(1)\(y=3x-1\)について、\(x\)の変域が\(-2≦x≦1\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。

(2)\(y=-2x+3\)について、\(x\)の変域が\(-3≦x≦1\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。

(3)\(y=-x+5\)について、\(x\)の変域が\(-1<x≦3\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。

答えはこちら

答え

$$(1) -7≦y≦2$$

$$(2) 1≦y≦9$$

$$(3) 2≦y<6$$

変域から式を作る問題の解き方

【練習問題】

傾きが負で、\(x\)の変域が\(-2≦x≦3\)のとき、\(y\)の変域が\(0≦y≦5\)となる一次関数の直線の式を求めなさい。

ゆい
ゆい

なにこれ、めっちゃ応用じゃない!?

難しく見えるけど、ちゃんと理由を分かっていれば簡単!

それぞれの変域から直線の式が通る座標を求めましょう。

傾きが負ということから、右下がりの直線を書きます。

ヨコの範囲が\(-2\)から\(3\)、タテの範囲が\(0\)から\(5\)となるように書き込むと…

このように\((-2,5)\)と\((3,0)\)を通るということが分かります。

 

あとの章で学習する「一次関数の式を求める」でもやりますが、直線が通る2点の座標がわかれば連立方程式を使って式を求めることができます。

\(y=ax+b\) に\((-2,5)\)と\((3,0)\)を代入すると

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5=-2a+b \\ 0=3a+b \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(b\)の係数が揃っているので、両方の式を引いて加減法で解いていくとラクですね(^^)

すると、\(a=-1,  b=3\) となるので、傾き\(-1\) 切片\(3\) と求まりました。

 

よって、一次関数の式は\(y=-x+3\) です。

答え

$$y=-x+3$$

かず先生
かず先生

変域から一次関数の式を求める場合

かんたんな直線の式を書いて、通る座標を見つけるのがポイントだね!

一次関数の式の求め方

一次関数の式の求め方

一次関数の式を求めるためには

$$\large{y=ax+b}$$

この式を使って考えていきます。

では、一次関数の式の求め方をパターン別に学習していきましょう。

傾きがわかる場合

【練習問題】

傾きが\(3\)で、点\((2,5)\)を通る直線の式を求めなさい。

傾きがわかっているので、\(y=ax+b\) の\(a\)部分に\(3\)を入れましょう。

すると、\(y=3x+b\) という式ができますね。

次に、\((2,5)\) を通るということから、\(x=2, y=5\) を\(y=3x+b\)に代入します。

$$\begin{eqnarray}5&=&3\times 2+b\\[5pt]5&=&6+b\\[5pt]5-6&=&b\\[5pt]-1&=&b \end{eqnarray}$$

このように計算して、切片が\(-1\) になると求まりました。

よって、この直線は傾きが\(3\) 切片が\(-1\) となるので直線の式は \(y=3x-1\) となりました。

答え

$$y=3x-1$$

切片がわかる場合

【練習問題】

点\((1,-2)\)を通り、切片が\(1\)である直線の式を求めなさい。

切片がわかっているので、\(y=ax+b\) の\(b\)部分に\(1\)を入れましょう。

すると、\(y=ax+1\) という式ができますね。

次に、\((1,-2)\) を通るということから、\(x=1, y=-2\) を\(y=ax+1\)に代入します。

$$\begin{eqnarray}-2&=&a\times 1+1\\[5pt]-2&=&a+1\\[5pt]-2-1&=&a\\[5pt]-3&=&a \end{eqnarray}$$

このように計算して、傾きが\(-3\) になると求まりました。

よって、この直線は傾きが\(-3\) 切片が\(1\) となるので直線の式は \(y=-3x+1\) となりました。

答え

$$y=-3x+1$$

変化の割合がわかる場合

【練習問題】

変化の割合が\(3\)で、点\((2,-2)\)を通る直線の式を求めなさい。

一次関数の変化の割合は傾きと等しいでしたね!

なので、変化の割合が\(3\) というのは、傾きが\(3\) であるということを表しています。

このことに気が付けば、先ほどやった傾きがわかっている場合と同じように解くことができます。

$$\begin{eqnarray}y&=&3x+b\\[5pt]-2&=&3\times 2+b\\[5pt]-2&=&6+b\\[5pt]-2-6&=&b\\[5pt]-8&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=3x-8\) となります。

答え

$$y=3x-8$$

かず先生
かず先生

変化の割合は傾きと等しい

これは絶対に覚えておこうね!

増加量がわかる場合

【練習問題】

\(x\)の値が\(3\)増加すると、\(y\)の値が\(2\)減少し、そのグラフが点\((3,4)\)を通る直線の式を求めなさい。

増加、減少…とくれば、そこから傾きを求めます。

傾きが\(-\frac{2}{3}\) だと読み取ることができます。

傾きがわかれば、基本通りのやり方で式を求めることができますね!

$$\begin{eqnarray}y&=&-\frac{2}{3}x+b\\[5pt]4&=&-\frac{2}{3}\times 3+b\\[5pt]4&=&-2+b\\[5pt]4+2&=&b\\[5pt]6&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-\frac{2}{3}x+6\) となります。

答え

$$y=-\frac{2}{3}x+6$$

2点の座標がわかる場合

【練習問題】

2点\((2,8) (4,4)\)を通る直線の式を求めなさい。

ゆい
ゆい

あれ…傾きも切片もわかんないけど、どうすんの!?

かず先生
かず先生

こういう場合には、2通りの解き方があるよ

それぞれについてみていこう!

まずは、2点の座標から傾きを求めちゃうやり方からみていこう。

傾きを求めるやり方

2点の座標から、\(x,y\)の増加量を読み取って傾きを求めることができます。

傾きを求めることができれば、2点のうちどちらかの座標を用いて

傾きが\(-2\) で点\((2,8)\)を通る直線と考えることができます。

こうなると、傾きがわかっている場合の解き方と同じですね。

$$\begin{eqnarray}y&=&-2x+b\\[5pt]8&=&-2\times 2+b\\[5pt]8&=&-4+b\\[5pt]8+4&=&b\\[5pt]12&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-2x+12\) となります。

2点の座標から傾きを読み取ってしまえば、今までのやり方を使って式を求めることができました。

 

連立方程式を解くやり方

2点の座標がわかっている場合には、連立方程式を使って解くやり方があります。

\(y=ax+b\) の式にそれぞれの座標を代入して式を2本作り、連立方程式として解いていきます。

\((2,8)\)を代入すると、\(8=2a+b\)

\((4,4)\)を代入すると、\(4=4a+b\)

これらを連立方程式にして解いていきましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 8=2a+b …① \\ 4=4a+b …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

①-②を計算すると

$$\begin{eqnarray}4&=&-2a\\[5pt]-2&=&a \end{eqnarray}$$

\(a=-2\)を①に代入すると

$$\begin{eqnarray}8&=&2\times (-2)+b\\[5pt]8&=&-4+b\\[5pt]8+4&=&b\\[5pt]12&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は \(y=-2x+12\) となります。

答え

$$y=-2x+12$$

かず先生
かず先生

2点が与えられた場合には、2通りのやり方があるから自分の好きなほうでやっていこう!

平行になっている場合

【練習問題】

点\((2,4)\)を通り、\(y=-x+5\)と平行な直線の式を求めなさい。

平行な直線は傾きが等しい!というのがポイントです。

\(y=-x+5\)と平行な直線というのは、傾きが\(-1\)になるということを表しています。

すると、この問題は傾きが\(-1\)で、点\((2,4)\)を通る直線の式を求めろ!といっているのと同じことです。

$$\begin{eqnarray}y&=&-x+b\\[5pt]4&=&-2+b\\[5pt]4+2&=&b\\[5pt]6&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-x+6\) となります。

答え

$$y=-x+6$$

かず先生
かず先生

平行な直線 = 傾きが等しい

これは頻出の知識だから、絶対に覚えておこう!

\(y\)軸上で交わる場合

【練習問題】

\(y=2x+3\)と\(y\)軸上で交わり、点\((1,1)\)を通る直線の式を求めなさい。

\(y\)軸上で交わるというのは、切片が等しいということを表しています。

よって、\(y=2x+3\)と\(y\)軸上で交わるということから、切片が\(3\)になることがわかります。

つまり、切片が\(3\)で、点\((1,1)\)を通る直線の式を求めろ!といっているのと同じことです。

$$\begin{eqnarray}y&=&ax+3\\[5pt]1&=&a+3\\[5pt]1-3&=&a\\[5pt]-2&=&a \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-2x+3\) となります。

答え

$$y=-2x+3$$

かず先生
かず先生

\(y\)軸上で交わる = 切片が等しい

これは頻出ではないけど、知識として持っておきたいね!

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グラフの交点を求める

グラフの交点を求める方法

グラフの交点の座標は、2直線の式の連立方程式を解くことで求めれます。

では、具体例をみてみましょう。

【練習問題】

次の2直線の交点の座標を求めなさい。

まずは、2直線の式を求めましょう。

切片と傾きをそれぞれ読み取ると

このように式ができあがります。

 

2直線の式ができたら、連立方程式を作って解いていきましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}x-1 …① \\ y=-\frac{3}{2}x+4 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

一次関数の式は、\(y=\cdots\) の形になっていることが多いので、代入法を使って解いていくとラクでよいですね!

②を①に代入すると

$$\begin{eqnarray}-\frac{3}{2}x+4&=&\frac{1}{2}x-1\\[5pt]-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x&=&-1-4\\[5pt]-2x&=&-5\\[5pt]x&=&\frac{5}{2} \end{eqnarray}$$

\(x=\frac{5}{2}\) を①に代入すると

$$\begin{eqnarray}y&=&\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}-1\\[5pt]&=&\frac{5}{4}-1\\[5pt]&=&\frac{1}{4} \end{eqnarray}$$

よって、連立方程式の解は \(x=\frac{5}{2}, y=\frac{1}{4}\) となりました。

 

このことから、2直線の交点の座標は\(\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{4} \right) \) となります。

答え

$$\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{4} \right)$$

 

かず先生
かず先生

交点を求める計算では、分数が出てくることも多いから計算練習しておこうね!

一次関数と図形、面積を求める

すこし発展的な内容になるんだけど、ここでは一次関数と図形を組み合わせた問題をみていこう。

代表的なのは次のような面積を考える問題です。

【練習問題】

次の図において、△ABCの面積を求めなさい。

図形の面積を求めるには、辺の長さが必要になります。

辺の長さを求めるために、まずは各頂点の座標を求めましょう。

点Aの座標は、2直線の交点なので連立方程式を用いて求めます。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}x+3 …① \\ y=-x+6 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

これを解くと、点Aの座標は\((2,4)\) となります。

 

点Bは、\(y=\frac{1}{2}x+3\)の\(x\)軸との交点です。

なので、\(y=0\) を\(y=\frac{1}{2}x+3\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}0&=&\frac{1}{2}x+3\\[5pt]-\frac{1}{2}x&=&3\\[5pt]x&=&-6 \end{eqnarray}$$

よって、点Bの座標は\((-6, 0)\) となります。

 

点Cも同様に、\(y=0\) を\(y=-x+6\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}0&=&-x+6\\[5pt]x&=&6\end{eqnarray}$$

よって、点Cの座標は\((6, 0)\) となります。

 

それぞれの座標が求まったら、底辺や高さを求めます。

底辺にあたる辺BCの長さは、点Bと点Cの\(x\)座標から12とわかります。

次に高さにあたる部分の長さは、点Aの\(y\)座標から4とわかります。

 

すると、△ABCは底辺12、高さ4なので

$$△ABC=12\times 4\times \frac{1}{2}=24$$

となりました。

答え

$$24$$

かず先生
かず先生

面積を求める場合には、まず座標!

座標がわかれば辺の長さも求めれるからね

一次関数【利用問題、文章問題】

ここからは一次関数の利用問題、文章問題をパターン別に学習していきましょう!

水槽の利用問題

【練習問題】

50Lの水が入る水槽に、5Lの水が入っている。この水槽に毎分3Lずつ満水になるまで水を入れた。水を入れ始めてから\(x\)分後の水槽に入っている水の量を\(y\)Lとするとき、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。また、\(x\)の変域を求めなさい。

ややこしそうに見える問題ですが…めちゃくちゃ簡単だ!

対応表を作って考えてみましょう。

$$x(分)$$ $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$\cdots$$
$$y(L)$$ $$5$$ $$8$$ $$11$$ $$\cdots$$

水槽には5Lの水が入っているので、\(x=0\)のとき\(y=5\) となります。

このことから切片は\(5\)ということがわかります。

次に、毎分3Lずつ水が増えていくのだから傾きは\(3\)となります。

 

以上から、\(y=3x+5\) と求まりました!

ゆい
ゆい

めっちゃ簡単!!

水槽に入っている水の量が切片

1分間に水が増える割合が傾きになります。

対応表をつくってみて、どれくらいの割合で増加しているのか、\(x=0\)のときに\(y\)はどうなっているのかを読み取れば、簡単に式を作ることができます。

 

また、\(x\)の変域ですが、\(x\)は時間を表しています。

なので、何分で満水になるかを考えればOKです。

水槽に入れることができる水の量は、あと45L。

毎分3Lずる水が増えていくので、\(45\div 3=15分\) で満水になることがわかります。

よって、\(x\)の変域は \(0≦x≦15\)となります。

 

答え

$$y=3x+5$$

$$0≦x≦15$$

追いつく、道のりを考える利用問題

【練習問題】

Aくんが家を9時に出発しました。自転車で公園まで行き、公園からは歩いて駅に行きました。下のグラフはAくんが家を出発してからの時間と道のりの関係を表したものです。Aくんが家を出発してから\(x\)分後の家からの道のりを\(y\)kmとして、次の問いに答えなさい。

(1)Aくんが家から公園まで行ったときの時速を求めなさい。

(2)Aくんが家から公園まで、公園から駅まで行ったときの\(x,y\) の関係を式に表しなさい。

(3)9時20分にBくんが家を出発し、時速18㎞でAくんを追いかけた。BくんがAくんに追いつく時刻をグラフをかいて求めなさい。また、追いついた場所は家から何㎞の地点か求めなさい。

 

(1)Aくんが家から公園まで行ったときの時速を求めなさい。

グラフから速さを読み取る場合には、増加量に注目だ!!

グラフから、Aくんは10分で2㎞進んでいることが読み取れます。

ということは…

1時間で12㎞進んでいることが分かりますね!

よって、Aくんの速さは時速12㎞ということになります。

答え

$$時速12㎞$$

かず先生
かず先生

速さを求める場合には、増加量に注目しよう!

どれくらいの時間で、どのくらい進んでいるのかを読み取れば「み・は・じ」を使って速さを求めることができるよ!

(2)Aくんが家から公園まで、公園から駅まで行ったときの\(x,y\) の関係を式に表しなさい。

利用問題のグラフを式にしたい場合、これは基本的なやり方と同じです。

切片と傾きをそれぞれ読み取ればOK!

傾きを読み取る場合には、1マスの目盛りが問題によって異なるので注意が必要です。

今回であれば、傾きは\(\frac{1}{5}\)、切片\(0\)ですね。

よって、Aくんが家から公園に行くまでの式は \(y=\frac{1}{5}x\) となります。

答え (家から公園までの式)

$$y=\frac{1}{5}x$$

 

公園から駅に行ったときの式は…

ゆい
ゆい

切片がわからん…

ということなので、切片が分からない場合の式の作り方を思い出してやっていきましょう。

座標と傾きを読み取ります。

すると、この直線は傾きが\(\frac{1}{15}\)で点\((25,5)\)を通るということが分かります。

このことから直線の式を作っていきましょう。

$$\begin{eqnarray}y&=&\frac{1}{15}x+b\\[5pt]5&=&\frac{1}{15}\times 25+b\\[5pt]5&=&\frac{5}{3}+b\\[5pt]\frac{15}{3}-\frac{5}{3}&=&b\\[5pt]\frac{10}{3}&=&b \end{eqnarray}$$

よって、Aくんが公園から駅に行くときの直線の式は\(y=\frac{1}{15}x+\frac{10}{3}\)

答え(公園から駅までの式)

$$y=\frac{1}{15}x+\frac{10}{3}$$

 

もしくは、2点の座標を読み取って連立方程式を使って式を求める方法もアリです。

2点\((25,5),(55,7)\) を通るってことが読み取れるので、連立方程式を使って式を作ればOKです。

個人的には、こっちのほうが好きかなー

(3)9時20分にBくんが家を出発し、時速18㎞でAくんを追いかけた。BくんがAくんに追いつく時刻をグラフをかいて求めなさい。また、追いついた場所は家から何㎞の地点か求めなさい。

時速18㎞ということは、60分で18㎞進むということ。

これを更に細かく考えると、10分で3㎞進むということがわかります。

※60分で18㎞というのはグラフにかききれないので、細かくして考えます。

このことから、Bくんのグラフをかくと次のようになります。

すると、AくんのグラフとBくんのグラフが交わるところがあるよね。

そこが追いついた場所ということになります。

2直線の交点の座標を読み取ると、9時40分に6㎞の地点で追いついたことがわかります。

答え

$$9時40分$$

$$6kmの地点$$

 

また、グラフの目盛りが書いていなくて座標が読み取れないような問題もあります。

その場合には、連立方程式によって2直線の交点の座標を読み取りましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{15}x+\frac{10}{3} …① \\ y=\frac{3}{10}x-6 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

この連立方程式を解いていくと、\(40,6\) という座標を求めることができます。

実際の問題では、連立方程式を使って追いついた場所、時刻を求める場合が多いです。

動点の利用問題

下の図のような長方形ABCDで、点Pは頂点Aを出発し秒速1㎝の速さで辺AB、BC、CD上を頂点Dまで進みます。点Pが頂点Aを出発してから \(x\)秒後の△APDの面積を \(y\)㎠とする。次の問いに答えなさい。

(1)次の場合、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

①辺AB上 ②辺BC上 ③辺CD上

(2)\(x,y\) の関係をグラフにしなさい。

秒速1㎝で動く場合、\(x\)秒後は\(x\)㎝

秒速2㎝で動く場合、\(x\)秒後は\(2x\)㎝

それぞれこのように表せます。

 

(1)次の場合、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

①辺AB上 ②辺BC上 ③辺CD上

まずは点Pが辺AB上にある場合を考えてみましょう。

すると、辺APの長さは\(x\)㎝、辺ADの長さは\(4\)㎝なので△APDの面積は

$$△APD=4\times x\times \frac{1}{2}=2x$$

つまり、\(y=2x\) となります。

ちなみに、辺AB上を動くのは0秒から3秒の間なので、\(0≦x≦3\) ですね。

 

次に、辺BC上をうごく場合を考えてみましょう。

点Pが辺BC上を動いているとき、常に△APDの底辺は4㎝、高さは3㎝となっています。よって、△APDの面積は次のようになります。

$$△APD=4\times 3\times \frac{1}{2}=6$$

よって、\(y=6\) となります。

辺BC上を動くのは3秒から7秒の間なので、\(3≦x≦7\) ですね。

 

最後に、辺CD上を動く場合を考えましょう。

ちょっとややこしいですが、がんばりましょうw

頂点Aから頂点Pまでの長さを\(x\)㎝と表すことができます。

そして、\(AB+BC+CD=3+4+3=10\)㎝ なので、辺DPの長さは\((10-x)\)㎝となります。

すると、△APDの面積は次のようになります。

$$△APD=4\times (10-x)\times \frac{1}{2}=-2x+20$$

よって、\(y=-2x+20\) となります。

辺CD上を動くのは7秒から10秒の間なので、\(7≦x≦10\) ですね。

答え(1)

辺AB上を動くとき

$$y=2x  (0≦x≦3)$$

辺BC上を動くとき

$$y=6  (3≦x≦7)$$

辺CD上を動くとき

$$y=-2x+20  (7≦x≦10)$$

かず先生
かず先生

点が動いてきた距離を\(x\)を使って表すことができれば、面積を文字で表すことは簡単だね!

(2)\(x,y\) の関係をグラフにしなさい。

(1)でつくった式を、変域に気を付けながらグラフをかいていくと次のようになります。

なんだ、この形は…と思うかもしれませんが、式が変わればグラフの形も変わります。

3つの式を変域にしたがってかいていくと、このようにつながったグラフができあがりです!

答え

一次関数【公式まとめ】

一次関数において、覚えておきたいことをまとめておきましょう。

一次関数まとめ!
  • 一次関数の式は、\(y=ax+b\) で表される。
  • 変化の割合は、傾きと等しい。
  • 平行な直線は、傾きが等しい
  • \(y\)軸上で交わる直線は、切片が等しい
  • 交点の座標は、連立方程式の解を用いて求める
かず先生
かず先生

これらのことは、しっかりと頭に入れておきたいところだね

一次関数って苦手な人が多い単元だけど、やることっていうのはシンプルなことが多い。

だから、この記事にあることを理解してもらえると大丈夫なはずだよ!

ファイトだ!

 

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