関数y=ax2乗

【y=ax2乗の利用】放物線と直線による面積!中学3年の問題をイチから解説!

ゆい
ゆい

放物線と直線…そして、面積…

マジで難しそうなんだけど…

というわけで、今回は中3で学習する関数\(y=ax^2\)の利用問題から「放物線と直線による面積」について解説していきます。

こんなやつだね!

定期テストだけじゃなく、入試でもよく出題される大事な問題だよ。

この記事を通してイチから解けるようになろう!

かず先生
かず先生

グラフの問題で面積を考えるっていうときは

座標をちゃんと求めれるかがポイントになるよ!

放物線と直線による面積の求め方

次のグラフにおいて、直線ABの式、または△AOBの面積を求めなさい。

問題の流れとしては

直線の式を求める ⇒ 三角形の面積を求める

というのが一般的です。

 

まずは直線の式をサクッと求めてしまいましょう。

直線の式を求めるためには2点の座標に注目すればOKです。

点\(A(-2,2)\)と点\(B(4,8)\)を通るということから式を作ります。

直線の式 \(y=ax+b\)に\((-2,2),(4,8)\)を代入すると

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2=-2a+b …① \\ 8=4a+b …② \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

という連立方程式ができます。これを①-②で計算すると

$$\begin{eqnarray}-6&=&-6a\\[5pt]a&=&1 \end{eqnarray}$$

\(a=1\)を①に代入すると

$$\begin{eqnarray}2&=&-2+b\\[5pt]4&=&b \end{eqnarray}$$

以上より、直線ABの式は \(\color{red}{y=x+4}\) となる。

 

2点を通る直線の式についてはこちらの動画でも解説しています。

どうだったっけ?という方は確認しておいてください(^^)

 

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面積を求める考え方

直線の式が求まったら、次は面積を考えていきましょう。

ゆい
ゆい

三角形が斜めになってるけど

どこを底辺、高さって考えたらいいんだろうか…

かず先生
かず先生

たしかに、そこが問題だよね!

だからね…

分割して考えればいいんだよ!

というわけで、斜めになっている三角形を分割して考えていきましょう。

すると、底辺と高さを読み取りやすくなります。

 

まずは、青の三角形から面積を求めてみましょう。

直線の式から切片が4だと分かりますね。

これを利用すると三角形の底辺は4となります。

次に、点Aの\(x\)座標であるー2に注目すると、高さは2だと分かります。

以上より、青の三角形の面積は\(\color{red}{4}\)となりました。

 

次にオレンジの三角形の面積を考えてみましょう。

先ほどと同じように切片が4ということから三角形の底辺は4となります。

次に、点Bの\(x\)座標である4に注目すると、高さは4だと分かります。

以上より、オレンジの三角形の面積は\(\color{red}{8}\)となりました。

 

それぞれの面積が求まれば、△AOBはできたも同然!

このように、それぞれの面積を足してやればOKです。

$$△AOB=4+8=\color{red}{12}$$

ゆい
ゆい

なんだ!簡単だね!

分割してやると長さが分かりやすくなってイイね!

 

文章での説明だけでは分かりにくい点もあったかと思います。

こちらの動画で詳しい解説をつけているのでご参考ください(^^)

まとめ!

かず先生
かず先生

お疲れ様でした!

サクッと解説してきたけど、どうだったかな?

初めて解くときには難しく感じる問題かもしれないね。

だけど、やることは単純だし一度解けるようになると、あとは数字が変わるだけなので楽勝だぞ!

しっかり練習して解けるようにしておこうね。

ゆい
ゆい

OK,OK~♪

分割すること、座標から長さを出すこと

これをしっかりと覚えておけば大丈夫だね!

 

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ゆい
ゆい

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かず先生
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