んー、\(y=ax^2\)のグラフがよぉ分からんのですわ…
なんか形も変だし、あんなのどうやって書けばいいの？
というわけで、今回の記事では中3で学習する「\(y=ax^2\)のグラフ」について解説していきます。
ここの単元では、グラフに関する用語、そしてグラフの書き方について問われます。
それぞれテストでは大事な得点源となるところなので理解を深めておきましょう！
y=ax2乗のグラフで覚えておきたい用語
まず、グラフの形は放物線となります。
この放物線は左右対称の形となっており、その折れ目となる線のことを軸といいます。
また、放物線のてっぺんの部分のことを頂点といいます。
この3つの用語は定期テストでも頻出だから
ぜーーーったいに覚えておこう！！
ちなみに、放物線には2種類の形があります。
\(y=ax^2\)の\(a\)がプラスのときには頂点が下にある、いわゆる上に開いた形となります。
一方で\(a\)がマイナスのときには頂点が上にある、いわゆる下に開いた形となります。
覚えることがいっぱいや…
ちょっと覚えただけでテストの点数がアップするんだから楽なもんだよ♪
せっかくなので、これまでに学習してきた関数のグラフについても確認しておきましょう。
- 比例 ⇒ 原点を通る直線。式は\(y=ax\)
- 反比例 ⇒ 双曲線。式は\(y=\frac{a}{x}\)
- 一次関数 ⇒ 直線。式は\(y=ax+b\)
- \(y\)は\(x\)の2乗に比例する関数 ⇒ 放物線。式は\(y=ax^2\)
- \(y=ax^2\)のグラフは放物線
- 放物線、頂点、軸の用語は必ず覚える
- \(a>0\) なら上に開いた形、\(a<0\) なら下に開いた形
y=ax2乗のグラフの書き方手順
- 表を作る
- 座標を読み取って、グラフに書き込む
- 点をなめらかな線で結ぶ
- 完成！
では、この手順に従ってグラフを書いてみましょう。
次のグラフを書きなさい。
$$y=x^2$$
まずは、表を作ってみましょう。
| $$x$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
| $$y$$ |
\(x\)の値は大体、3～4くらいまで書いておけば大丈夫かな。
そして、\(y\)の値を埋めていきましょう。
\(x=0\) のとき、\(y=0^2=0\)
| $$x$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
| $$y$$ | $$\color{red}{0}$$ |
\(x=1\) のとき、\(y=1^2=1\)
| $$x$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
| $$y$$ | $$0$$ | $$\color{red}{1}$$ |
こんな感じで、\(x\)の値を式に代入して表を完成させていきます。
じ、地道な作業だね…
すると、次のように表が完成します。
| $$x$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
| $$y$$ | $$9$$ | $$4$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$9$$ |
表が完成したら、ここから座標を読み取ります。それぞれの対応するところを見ると
\((-3,9)(-2,4)(-1,4)(0,0)(1,1)(2,4)(3,9)\)という座標が読み取れます。
座標が読み取れたら、これらをグラフに書き込んでいきましょう。
これで準備完了！
あとはこれらの点をなめらかに結んでやれば完成です。
放物線は、なめらかに線を結ぶのが難しい！！
これがまぁ、芸術センスを問われるんだよな…
左右対称になるように、そして頂点は尖らずに丸みを帯びるように意識していきましょう。
グラフの書き方について、もう1つ例題をあげておきます。
次のグラフを書きなさい。
$$y=-\frac{1}{2}x^2$$
まずは、表を作ってみましょう。
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ |
| $$y$$ |
\(x=1\)のとき、\(y=-\frac{1}{2}\times 1^2=-\frac{1}{2}\)
\(x=2\)のとき、\(y=-\frac{1}{2}\times 2^2=-2\)
分数なので、ちょっとだけ複雑にはなっちゃいますが、しっかりと計算をして表を埋めていきます。
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ |
| $$y$$ | $$-8$$ | $$-\frac{2}{9}$$ | $$-4$$ | $$-\frac{1}{2}$$ | $$0$$ | $$-\frac{1}{2}$$ | $$-4$$ | $$-\frac{2}{9}$$ | $$-8$$ |
表が埋まったら、ここから座標を読み取っていくのですが…
ここで大事なポイント！
分数が出てきたところは無視する！
\(x,y\)ともに整数となっているところだけを読み取りましょう。
すると、座標は\((-4,8)(-2,-4)(0,0)(2,-4)(4,-8)\) が読み取れます。
あとは、点をとってなめらかに結べば完成ですね！
分数がでてきた座標は、正確に点を取ることができないよね。
だから無視しちゃいましょう！
整数どうしで正確に点を取ることができる座標だけを読み取るようにします。
グラフから式をつくる
次の放物線の式を作りなさい。
グラフから式を作るのは簡単なので、サクッとやっちゃいましょう！
原点以外の座標を1つ読み取ります。
どこでも良いですが、なるべく原点付近の小さい値となる座標がいいですね。
すると、1つ\((2,2)\)という座標を読み取ることができます。
これは、\(x=2\) のとき \(y=2\) になるということを表します。
よって、\(y=ax^2\)の式にそれぞれの値を代入することで比例定数\(a\)を求めることができます。
\(y=ax^2\) に\(x=2, y=2\) を代入すると
$$\begin{eqnarray}2&=&a\times 2^2\\[5pt]2&=&4a\\[5pt]2\div 4&=&a\\[5pt]\frac{1}{2}&=&a \end{eqnarray}$$
よって、\(\color{red}{y=\frac{1}{2}x^2}\) となります。
めっちゃ簡単だね！！
グラフから式を求める場合には、座標を読み取って\(y=ax^2\)に代入するだけでOK！
楽勝だね♪
今回の記事について分かりにくいところ、もっと丁寧に解説してほしかったところがあれば次の動画内でも解説しているのでご参考ください。
まとめ！
お疲れ様でした！
\(y=ax^2\)のグラフは、反比例と同じように地道に点をとっていくしかありません。
ですが、別に難しい計算や公式を使うわけでないので、しっかりと練習することで誰でも解けるようになるはずです。
また、放物線、軸、頂点といった用語は非常に大切！
これを覚えておくだけで5点UPも夢ではありませんよ。
5点アップ、嬉しい、嬉しい、嬉しい～♪
グラフもしっかりと練習して、もっと点数を伸ばせるように頑張ります！
