関数y=ax2乗

【y=ax2乗】変域の求め方、変域から式を作る方法について解説!

ゆい
ゆい

変域の問題って苦手なんですよね…

難しく見えるっていうか…

というわけで、今回の記事では中3で学習する関数\(y=ax^2\)の単元から「変域の求め方」について解説していきます。

また、変域から式を求めるという発展問題についてもイチから解説していくので最後まで頑張りましょう!

かず先生
かず先生

変域の問題は考え方が分かれば、すぐに解けるようになるよ!

y=ax2乗の変域の求め方

関数\(y=2x^2\)について\(x\)の変域が\(2≦x≦4\)であるとき、\(y\)の変域を求めなさい。

変域というのは範囲のこと。

つまり、\(x\)の変域(ヨコの範囲)を切り取ったとき、\(y\)の変域(タテの範囲)はどうなるのか?を考えなさいという問題です。

まずは、簡単でいいので\(y=2x^2\)のグラフを書き、それを\(2≦x≦4\)で切り取ってみましょう。

すると、赤く塗った部分が切り取られることになります。

このとき、タテの範囲はどうなっているかというと

このように、\(x=4\)の部分である\(y=32\)が一番大きく、\(x=2\)の部分である\(y=8\)が一番小さくなっていることが分かります。

よって、\(y\)の変域は\(\color{red}{8≦y≦32}\)となります。

ゆい
ゆい

おー、意外と簡単だ!

グラフを切り取って\(y\)座標を読み取ればいいってことだね

 

では、次の問題も同じように考えてみましょう。

関数\(y=-\frac{1}{2}x^2\)について\(x\)の変域が\(−2≦x≦4\)であるとき、\(y\)の変域を求めなさい。

まずはグラフを書いて、\(x\)の変域で切り取ってみましょう。

すると今度は、\(x=0\)の部分である\(y=0\)が一番大きく、\(x=4\)の部分である\(y=-8\)が一番小さくなっていることが分かります。\(x=-2\)の部分は無関係ですね。

よって、\(y\)の変域は\(\color{red}{-8≦y≦0}\)となります。

 

ゆい
ゆい

やり方はわかったけど…

毎回グラフを書いて切り取ってやるの…?

めんどくない?

かず先生
かず先生

慣れてきたらグラフを書かずに表を使ってやるといいよ!

というわけで、変域を求めるときに毎回グラフを書いてやるのはメンドイ!

だから、表を使って\(y\)座標の大小を比べることでラクに求めましょう。

 

先ほど、グラフを書いて変域を求めたときに感じたかもしれませんが、結局は\(x\)の変域の両端、もしくは原点の値を見比べるだけで答えは求まります。

今回の問題であれば\(x\)の変域のー2と4、そして0を表に書き込んで\(y\)の値を求めます。

$$x$$ $$-2$$ $$0$$ $$4$$
$$y$$ $$-2$$ $$\color{red}{0}(大)$$ $$\color{red}{-8}(小)$$

3つの\(y\)の値の中から一番大きい数と小さい数を見つけたら変域は完成です。

\(-8≦y≦0\)という答えがすぐに求まります。

ゆい
ゆい

おぉ!これこれ!

やっぱりラクしたいよねー

かず先生
かず先生

答えを求めるやり方としては、このようにラクしてもいいんだけど

変域というのは切り取ったときの範囲なんだよってことはちゃんと理解しておいてくださいね!

 

やり方を身につけるためには練習あるのみです。

以下の問題で理解を深めておきましょう。

関数\(y=3x^2\)について、\(x\)の変域が次のようになるとき\(y\)の変域を求めなさい。

(1)\(1≦x≦3\)

(2)\(-2≦x≦1\)

答えはこちら

答え

$$(1) 3≦y≦27$$

$$(2) 0≦y≦12$$

(1)\(1≦x≦3\)の中には原点が含まれていないので、表は1と3だけ考えればOK。

$$x$$ $$1$$ $$3$$
$$y$$ $$\color{red}{3}(小)$$ $$\color{red}{27}(大)$$

よって、\(3≦y≦27\)

 

(2)\(-2≦x≦1\)の中には原点が含まれているので、表はー2、0、1を考えます。

$$x$$ $$-2$$ $$0$$ $$1$$
$$y$$ $$\color{red}{12}(大)$$ $$\color{red}{0}(小)$$ $$3$$

よって、\(0≦y≦12\)

スポンサーリンク



【発展】変域から式を求める方法

関数\(y=ax^2\)について\(x\)の変域が\(−2≦x≦1\) のとき\(y\)の変域が\(0≦y≦12\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

変域から式を求めるときには、グラフの形を判断することが大事です。

かず先生
かず先生

\(y\)の変域がプラスなら、上に開いた形。

\(y\)の変域がマイナスなら、下に開いた形になるよ!

今回であれば、\(0≦y≦12\)ということでプラスになっているから上に開いた形になることがわかります。

 

グラフの形が判断できたら、そのグラフに変域を書き込んでいきます。

すると、\((-2,12)\)という座標を通ることが読み取れます。

座標が分かればこっちのもんですね!\(y=ax^2\)の式に代入していけばOKです。

\(x=-2\),\(y=12\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}12&=&a\times (-2)^2\\[5pt]12&=&4a\\[5pt]a&=&\color{red}{3} \end{eqnarray}$$

  • \(y\)の変域からグラフの形を判断する。
  • グラフを書いて変域を書き込み、座標を見つける。
  • 座標を用いて式を完成させる。
ゆい
ゆい

なるほど!

意味が分かったら簡単に思えちゃうね

練習問題をやって理解を深めておかなきゃ!

 

 

関数\(y=ax^2\)について\(x\)の変域が\(−1≦x≦3\) のとき\(y\)の変域が\(-18≦y≦0\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

答えはこちら

答え

$$a=-2$$

\(x=3\),\(y=-18\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}-18&=&a\times 3^2\\[5pt]-18&=&9a\\[5pt]a&=&\color{red}{-2} \end{eqnarray}$$

 

かず先生
かず先生

今回の変域に関する内容は、動画内でも解説してるよ!

わかんないところがあった人は動画も参考にしてみてくださいね(^^)

まとめ!

かず先生
かず先生

お疲れ様でした!

変域の問題って苦手にしている人が多いんだけど、実際には簡単な問題だったよね。

たくさん練習して満点が取れるようにしておこうね

ゆい
ゆい

OK,OK~♪

見た目に騙されないようにしなきゃね

変域は楽勝だぜ★

スポンサーリンク



ゆい
ゆい

もっと成績を上げたいんだけど…

何か良い方法はないかなぁ…?

この記事を通して、学習していただいた方の中には

もっと成績を上げたい!いい点数が取りたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど

何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

かず先生
かず先生

スタディサプリを使うことをおススメします!


スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか

何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

ゆい
ゆい

迷わず勉強できるっていうのはすごくイイね!

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ7つのメリット!
  1. 費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。

スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで

どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

 

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

かず先生
かず先生

実際に、僕もスタディサプリを受講しているんだけど

すっごく分かりやすい!

そして、すっごく安い!!

このサイト作成や塾講師としてのお仕事に役立てています。

なので、ぜひとも体験していただきたい(^^)

⇒ スタディサプリの詳細はこちら

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。