変域の問題って苦手なんですよね…
難しく見えるっていうか…
というわけで、今回の記事では中3で学習する関数\(y=ax^2\)の単元から「変域の求め方」について解説していきます。
また、変域から式を求めるという発展問題についてもイチから解説していくので最後まで頑張りましょう！
変域の問題は考え方が分かれば、すぐに解けるようになるよ！
y=ax2乗の変域の求め方
関数\(y=2x^2\)について\(x\)の変域が\(2≦x≦4\)であるとき、\(y\)の変域を求めなさい。
変域というのは範囲のこと。
つまり、\(x\)の変域（ヨコの範囲）を切り取ったとき、\(y\)の変域（タテの範囲）はどうなるのか？を考えなさいという問題です。
まずは、簡単でいいので\(y=2x^2\)のグラフを書き、それを\(2≦x≦4\)で切り取ってみましょう。
すると、赤く塗った部分が切り取られることになります。
このとき、タテの範囲はどうなっているかというと
このように、\(x=4\)の部分である\(y=32\)が一番大きく、\(x=2\)の部分である\(y=8\)が一番小さくなっていることが分かります。
よって、\(y\)の変域は\(\color{red}{8≦y≦32}\)となります。
おー、意外と簡単だ！
グラフを切り取って\(y\)座標を読み取ればいいってことだね
では、次の問題も同じように考えてみましょう。
関数\(y=-\frac{1}{2}x^2\)について\(x\)の変域が\(−2≦x≦4\)であるとき、\(y\)の変域を求めなさい。
まずはグラフを書いて、\(x\)の変域で切り取ってみましょう。
すると今度は、\(x=0\)の部分である\(y=0\)が一番大きく、\(x=4\)の部分である\(y=-8\)が一番小さくなっていることが分かります。\(x=-2\)の部分は無関係ですね。
よって、\(y\)の変域は\(\color{red}{-8≦y≦0}\)となります。
やり方はわかったけど…
毎回グラフを書いて切り取ってやるの…？
めんどくない？
慣れてきたらグラフを書かずに表を使ってやるといいよ！
というわけで、変域を求めるときに毎回グラフを書いてやるのはメンドイ！
だから、表を使って\(y\)座標の大小を比べることでラクに求めましょう。
先ほど、グラフを書いて変域を求めたときに感じたかもしれませんが、結局は\(x\)の変域の両端、もしくは原点の値を見比べるだけで答えは求まります。
今回の問題であれば\(x\)の変域のー2と4、そして0を表に書き込んで\(y\)の値を求めます。
| $$x$$ | $$-2$$ | $$0$$ | $$4$$ |
| $$y$$ | $$-2$$ | $$\color{red}{0}（大）$$ | $$\color{red}{-8}（小）$$ |
3つの\(y\)の値の中から一番大きい数と小さい数を見つけたら変域は完成です。
\(-8≦y≦0\)という答えがすぐに求まります。
おぉ！これこれ！
やっぱりラクしたいよねー
答えを求めるやり方としては、このようにラクしてもいいんだけど
変域というのは切り取ったときの範囲なんだよってことはちゃんと理解しておいてくださいね！
やり方を身につけるためには練習あるのみです。
以下の問題で理解を深めておきましょう。
関数\(y=3x^2\)について、\(x\)の変域が次のようになるとき\(y\)の変域を求めなさい。
（1）\(1≦x≦3\)
（2）\(-2≦x≦1\)
【発展】変域から式を求める方法
関数\(y=ax^2\)について\(x\)の変域が\(−2≦x≦1\) のとき\(y\)の変域が\(0≦y≦12\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。
変域から式を求めるときには、グラフの形を判断することが大事です。
\(y\)の変域がプラスなら、上に開いた形。
\(y\)の変域がマイナスなら、下に開いた形になるよ！
今回であれば、\(0≦y≦12\)ということでプラスになっているから上に開いた形になることがわかります。
グラフの形が判断できたら、そのグラフに変域を書き込んでいきます。
すると、\((-2,12)\)という座標を通ることが読み取れます。
座標が分かればこっちのもんですね！\(y=ax^2\)の式に代入していけばOKです。
\(x=-2\),\(y=12\)を\(y=ax^2\)に代入する。
$$\begin{eqnarray}12&=&a\times (-2)^2\\[5pt]12&=&4a\\[5pt]a&=&\color{red}{3} \end{eqnarray}$$
- \(y\)の変域からグラフの形を判断する。
- グラフを書いて変域を書き込み、座標を見つける。
- 座標を用いて式を完成させる。
なるほど！
意味が分かったら簡単に思えちゃうね
練習問題をやって理解を深めておかなきゃ！
関数\(y=ax^2\)について\(x\)の変域が\(−1≦x≦3\) のとき\(y\)の変域が\(-18≦y≦0\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。
答え
$$a=-2$$
\(x=3\),\(y=-18\)を\(y=ax^2\)に代入する。
$$\begin{eqnarray}-18&=&a\times 3^2\\[5pt]-18&=&9a\\[5pt]a&=&\color{red}{-2} \end{eqnarray}$$
今回の変域に関する内容は、動画内でも解説してるよ！
わかんないところがあった人は動画も参考にしてみてくださいね(^^)
まとめ！
お疲れ様でした！
変域の問題って苦手にしている人が多いんだけど、実際には簡単な問題だったよね。
たくさん練習して満点が取れるようにしておこうね
OK,OK～♪
見た目に騙されないようにしなきゃね
変域は楽勝だぜ★
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