やっぱり変化の割合って苦手なんだよなぁ…
というわけで、今回の記事では中3で学習する関数\(y=ax^2\)の単元から「変化の割合の求め方」についてイチから解説していきます。
実は…この単元では裏ワザが使えます！
これを知っていれば、めちゃくちゃ楽勝な問題になってしまいます。
5分でサクッと理解しちゃいましょう！
まぁ、まずは基本から解説していきます。
y=ax2乗の変化の割合の求め方
変化の割合の求め方
$$変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}$$
どの関数においても上のような式で変化の割合を求めることができます。
そもそも…変化の割合って何だっけ？
という方も多いので、一応説明しておくと
変化の割合とは「\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合」を表したものです。
イメージとしては、\(x\)が増えると\(y\)はどれくらいのペースで増減しますか？というものです。
では、次の問題を考えてみましょう。
関数\(y=2x^2\)について、\(x\)の値が2から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
基本通りに変化の割合を求める場合、表を作ると分かりやすくなります。
\(x\)の値が2から4といっているので、2と4を書いた表を作ります。
| $$x$$ | $$2$$ | $$\cdots$$ | $$4$$ |
| $$y$$ |
あとはこの表を完成するべく、\(y\)のところを埋めていきましょう。
\(x=2\)のとき、\(y=2\times 2^2=8\)
\(x=4\)のとき、\(y=2\times 4^2=32\)
よって、表は次のように埋まります。
| $$x$$ | $$2$$ | $$\cdots$$ | $$4$$ |
| $$y$$ | $$8$$ | $$\cdots$$ | $$32$$ |
表が埋まったら、ここから\(x,y\)の増加量をそれぞれ求めていきます。
\(x\)は2から4に変化しているので、\(x\)の増加量は \(4-2=2\)
\(y\)は8から32に変化しているので、\(y\)の増加量は \(32-8=24\)
このようにして、それぞれの増加量を求めることができました。
$$(増加量)=(変化後)-(変化前)$$
あとは、\(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)に当てはめれば完成だ！
$$変化の割合=\frac{24}{2}=\color{red}{12}$$
なるほど！
表を作れば、それぞれの増加量が読み取りやすくなるね！
それに計算はとてもシンプルだ♪
- 表を作って値を埋める
- それぞれの増加量を読み取る
- \(変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)に当てはめれば完成！
裏ワザ公式を使った解き方
関数\(y=ax^2\)について、\(x\)の値が\(p\)から\(q\)まで増加するとき
$$変化の割合=\color{red}{a(p+q)}$$
この裏ワザ公式を使うと、めちゃくちゃラクに計算ができるようになるよ！
おぉぉ！！コレが裏ワザ！
でも、どうやって使うのだ？
では、先ほどの問題を裏ワザ公式を使って解いてみましょう。
関数\(y=2x^2\)について、\(x\)の値が2から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
変化している\(x\)の値に注目して、それらの値を足します。
$$2+4=6$$
そして、この値に比例定数を掛けます。今回の問題であれば2ですね。
$$6\times 2=\color{red}{12}$$
という感じで、一瞬で計算することができます。
1つの式でまとめると次のようになります。
$$変化の割合=2(2+4)=\color{red}{12}$$
な、なんじゃこりゃ！
めちゃくちゃラクになったね
この裏ワザが使えるのは、\(y=ax^2\)の関数だけ！
一次関数、反比例などでは使えないから注意だね
では、裏ワザ公式が使いこなせるか確認しておこう。
関数\(y=-4x^2\)について、\(x\)の値がー3から2まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
$$変化の割合=-4(-3+2)=\color{red}{4}$$
関数\(y=\frac{1}{2}x^2\)について、\(x\)の値がー4からー2まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
$$変化の割合=\frac{1}{2}(-4-2)=\color{red}{-3}$$
裏ワザ公式が使えたら、楽勝すぎるよね！
変化の割合を利用した問題の解説！
では、ここからは関数\(y=ax^2\)の変化の割合を利用した問題について解説していきます。
関数\(y=ax^2\)について\(x\)の値が2から4まで増加するときの変化の割合が−12である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。
変化の割合が与えられており、そこから\(a\)の値を求めるという問題です。
まずは「関数\(y=ax^2\)について\(x\)の値が2から4まで増加するときの変化の割合」を文字\(a\)を使って表しましょう。
ここでは裏ワザ公式を使うとラクに求めることができます。
$$変化の割合=a(2+4)=\color{red}{6a}$$
すると、変化の割合は\(6a\)と表すことができました。
そして、問題文から変化の割合\(6a\)はー12になることが分かります。
$$\begin{eqnarray}6a&=&-12\\[5pt]a&=&\color{red}{-2} \end{eqnarray}$$
なるほど！
文字を使って変化の割合を表すとか、難しく思えちゃうけど
裏ワザ公式のおかげでラクにできるね！
2つの関数\(y=ax^2\)と\(y=3x+5\)について\(x\)の値が3から5まで増加するときの変化の割合が等しくなる。このとき、\(a\)の値を求めなさい。
ここでポイントとなるのは、一次関数の知識です。
一次関数\(y=ax+b\)の変化の割合は常に一定で、傾き\(a\)と等しくなる。
つまり、「\(y=3x+5\)について\(x\)の値が3から5まで増加するときの変化の割合」とは計算をするまでもなく、傾きを読み取って3であることがわかります。
これが理解できれば、やることは先ほどの問題と同じです。
関数\(y=ax^2\)について\(x\)の値が3から5まで増加するときの変化の割合を表すと
$$変化の割合=a(3+5)=\color{red}{8a}$$
すると、変化の割合は\(8a\)と表すことができました。これが3と等しくなるので
$$\begin{eqnarray}8a&=&3\\[5pt]a&=&\color{red}{\frac{3}{8}} \end{eqnarray}$$
一次関数と絡めて問題が出てくることもあるので注意だね
一次関数の変化の割合は傾きと同じ！
絶対に覚えておこう！
今回の記事について分かりにくいところ、もっと丁寧に解説してほしかったところがあれば次の動画内でも解説しているのでご参考ください。
まとめ！
お疲れ様でした！
裏ワザ公式の威力は凄まじかったね。
これは絶対に覚えて、使えるようにしておいた方がいいよ！
OK,OK～♪
目指せクラス1位だ！
裏ワザ公式の存在は、ライバルの友達には内緒にしておこーっと…
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