関数y=ax2乗

【y=ax2乗】aの求め方についてパターン別に解説!発展問題もアリ!

ゆい
ゆい

\(a\)を求めろって言われても…

何をすればいいの!?

というわけで、今回の記事では中3で学習する関数\(y=ax^2\)の単元から「\(a\)の求め方」について解説していきます。

単純に\(a\)を求めろといっても次のようにいろんなパターンの問題があります。

  • 文章から\(a\)を求める(基本)
  • グラフから\(a\)を求める
  • 変化の割合から\(a\)を求める(発展)
  • 変域から\(a\)を求める(発展)

質問が多いのは、変化の割合や変域が絡んできた問題かな。

今回はそれぞれのやり方についてイチから解説していくので最後までよろしくお願いします(^^)

かず先生
かず先生

テストに出やすい問題だからしっかりとマスターしていこう!

aの求め方~基本パターン~

\(y\)は\(x\)の2乗に比例し、\(x=3\)のとき\(y=27\)である。このとき、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

これが一番基本となるパターンの問題ですね。

\(y\)は\(x\)の2乗に比例する ⇒ \(y=ax^2\)

この式の形を覚えておけば楽勝です。

\(x=3\),\(y=27\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}27&=&a\times 3^2\\[5pt]27&=&9a\\[5pt]a&=&3 \end{eqnarray}$$

よって、式は\(\color{red}{y=3x^2}\)

\(x,y\)の値を\(y=ax^2\)に代入し、方程式を解くことで\(a\)の値、そして式を求めることができます。

ゆい
ゆい

めっちゃ簡単ですね!

\(y=ax^2\)という形を覚えておけばいける!

 

【練習問題】

\(y\)は\(x\)の2乗に比例し、\(x=2\)のとき\(y=-16\)である。このとき、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

答えはこちら

答え

$$y=-4x^2$$

\(x=2\),\(y=-16\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}-16&=&a\times 2^2\\[5pt]-16&=&4a\\[5pt]a&=&-4 \end{eqnarray}$$

よって、式は\(\color{red}{y=-4x^2}\)

グラフからaを求める

次の関数\(y=ax^2\)について、\(a\)の値および\(b\)の値を求めなさい。

グラフから\(a\)の値を求める場合

まずは座標を読み取りましょう!

これは目盛りがついているグラフでも同様。まずは放物線が通っている座標を1つ読み取ってください。

今回のグラフであれば、\((2,2)\)を通るということが読み取れますね。

これは、\(x=2\)のとき\(y=2\)になるということを表しています。

ゆい
ゆい

ってことは、さっきやった基本パターンと同じように解くことができますね!

その通り!グラフから座標を読み取ったあと、やることは同じです!

\(x=2\),\(y=2\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}2&=&a\times 2^2\\[5pt]2&=&4a\\[5pt]a&=&\color{red}{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$$

 

次に、\(b\)の値を求めましょう。

\(b\)とは、\(x\)座標が\(-4\)のときの\(y\)座標のことですね。

これは\(y=\frac{1}{2}x^2\)において、\(x=-4\)のとき\(y=b\)になるということなので、式にそれぞれの値を代入しましょう。

\(x=-4\),\(y=b\)を\(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}b&=&\frac{1}{2}\times (-4)^2\\[5pt]b&=&\frac{1}{2}\times 16\\[5pt]b&=&\color{red}{8} \end{eqnarray}$$

ゆい
ゆい

OK,OK!

グラフで出題されると難しく感じるけど、やっていることは同じってわけね!

 

【練習問題】

次の関数\(y=ax^2\)について、\(a\)の値および\(b\)の値を求めなさい。

答えはこちら

答え

$$a=\frac{1}{4}$$

$$b=-2\sqrt{2}$$

\(x=2\),\(y=-1\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}-1&=&a\times 2^2\\[5pt]-1&=&4a\\[5pt]a&=&\color{red}{-\frac{1}{4}} \end{eqnarray}$$

 

\(x=b\),\(y=-2\)を\(y=-\frac{1}{4}x^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}-2&=&-\frac{1}{4}\times b^2\\[5pt]8&=&b^2\\[5pt]b&=&\color{red}{-2\sqrt{2}} \end{eqnarray}$$

\(b=\pm 2\sqrt{2}\) となるんだけど

\(b\)は\(x\)座標がマイナスになる位置にあるので、\(-2\sqrt{2}\)とします。

 

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変化の割合からaを求める

関数\(y=ax^2\)について\(x\)の値が2から4まで増加するときの変化の割合が−12である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

\(y=ax^2\)において、\(x\)の値が\(p\)から\(q\)まで増加するときの変化の割合は

$$変化の割合=\color{red}{a(p+q)}$$

と表すことができる。

ここからちょっと発展的になるんだけど、上のことを覚えておけば楽勝だ!

 

まずは、関数\(y=ax^2\)について\(x\)の値が2から4まで増加するときの変化の割合を求めよう。すると、次のようになります。

$$変化の割合=a(2+4)=\color{red}{6a}$$

そして、問題の情報から変化の割合はー12になるといっているので

$$\begin{eqnarray}6a&=&-12\\[5pt]a&=&\color{red}{-2} \end{eqnarray}$$

となります。

 

ゆい
ゆい

おぉ!なんかあっさり解けた!

かず先生
かず先生

変化の割合の公式をマスターしていたら楽勝だね!

 

【練習問題】

関数\(y=ax^2\)について\(x\)の値がー1から3まで増加するときの変化の割合が8である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

答えはこちら

$$a=4$$

まずは変化の割合を求めます。

$$変化の割合=a(-1+3)=2a$$

これが8になるということから

$$\begin{eqnarray}2a&=&8\\[5pt]a&=&4 \end{eqnarray}$$

変域からaを求める

関数\(y=ax^2\)について\(x\)の変域が\(−2≦x≦1\) のとき\(y\)の変域が\(0≦y≦12\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

変域から\(a\)を求める場合

まずはグラフの形を判断することが大事!

\(y\)の変域に注目すると、\(0≦y≦12\)ということでプラスの値になっていることが分かります。

このことからグラフは、上に開いた形になるということがわかります。

 

グラフの形が判断できたら、そのグラフに変域を書き込んでいきます。

すると、\((-2,12)\)という座標を通ることが読み取れます。

座標を読みとることができれば、あとは基本パターンのときと同じように解いていけばよいですね。

\(x=-2\),\(y=12\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}12&=&a\times (-2)^2\\[5pt]12&=&4a\\[5pt]a&=&\color{red}{3} \end{eqnarray}$$

かず先生
かず先生

慣れてくるとそれぞれの変域を見ただけで座標が読み取れるようになります。

だけど、最初のうちはていねいに放物線を書き、変域を書き込むことで座標を見つけていきましょう。

 

関数\(y=ax^2\)について\(x\)の変域が\(−1≦x≦3\) のとき\(y\)の変域が\(-18≦y≦0\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

答えはこちら

答え

$$a=-2$$

\(x=3\),\(y=-18\)を\(y=ax^2\)に代入する。

$$\begin{eqnarray}-18&=&a\times 3^2\\[5pt]-18&=&9a\\[5pt]a&=&\color{red}{-2} \end{eqnarray}$$

 

かず先生
かず先生

今回の記事について分かりにくいところ、もっと丁寧に解説してほしかったところがあれば次の動画内でも解説しているのでご参考ください。

【基本、グラフからパターンの解説】

 

【変化の割合から求めるパターン】

 

【変域から求めるパターン】

 

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まとめ!

かず先生
かず先生

お疲れ様でした!

これで\(a\)の求め方についてはバッチリかな?

変域の問題はちょっとだけ難しく感じるかもしれない。だから理解できるようになるまで何度も練習、そして解説を読みこんでください!

ゆい
ゆい

OK,OK~♪

分からんくなったやつは動画をみて復習しておきます!

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ゆい
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