平方根(ルート)

【平方根】足し算、引き算のやり方をサクッと解説!分数の場合にはどうする??

ゆい
ゆい

ルートの足し算、引き算ってどうやるんですか?

分数とか出てきたらマジ勘弁なんですけど…

というわけで、今回の記事では「平方根の足し算、引き算」についてイチからサクッと解説していきます。

 

平方根の足し算、引き算は文字式の計算と同じように考えることができるよ!

平方根の足し算、引き算のやり方

平方根の足し算、引き算は注意です!!

掛け算のときには、ルートの中身を掛ければOKでした。

$$\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}$$

⇒ 【平方根】掛け算のやり方をサクッと解説!

 

しかし、足し算、引き算のときにはそうはいきません。

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$

ダメ、絶対!!

平方根の足し算、引き算では中身を足したり、引いたりできない。

ゆい
ゆい

え、じゃぁどうするんですか??

平方根の足し算、引き算では次のように計算をしていきます。

平方根の足し算、引き算のポイント

同じルートの外についている数どうしを計算する。

$$2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(2+4)\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$

ルートの中身に変化はありません。

ルートの中身が異なる場合には、これ以上計算できません。

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

これで終わり!!

かず先生
かず先生

平方根の足し算、引き算は、ルート部分を文字だと考えれば文字式と同じような計算だとわかるね!

$$\begin{eqnarray} &&2\sqrt{2}+\sqrt{3}-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\\[5pt]&=&-2\sqrt{2}+4\sqrt{3}\end{eqnarray}$$

\(\sqrt{2}\)を\(a\)、\(\sqrt{3}\)を\(b\)と考えると

$$\begin{eqnarray}2a+b-4a+3b=-2a+4b \end{eqnarray}$$

ゆい
ゆい

なるほど、なるほど!

ルートの外にある数字を足したり、引いたりすればよくて

同じルートどうししか計算できないってことですね!

 

では、例題を見ながら理解を深めていきましょう。

次の計算をしなさい。

$$2\sqrt{7}-5\sqrt{2}-\sqrt{7}+2\sqrt{2}$$

同じルートどうししか計算できないので、\(\sqrt{7}\)どうし\(\sqrt{2}\)どうしを計算していきます。

$$\begin{eqnarray}&&2\sqrt{7}-5\sqrt{2}-\sqrt{7}+2\sqrt{2}\\[5pt]&=&(2-1)\sqrt{7}+(-5+2)\sqrt{2}\\[5pt]&=&\color{red}{\sqrt{7}-3\sqrt{2}} \end{eqnarray}$$

 

次の計算をしなさい。

$$\sqrt{32}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$$

ゆい
ゆい

あれ!?

同じルートがないんだけど、これ以上どうやって計算すればいいんですか?

たしかに、パッと見ただけではこれ以上計算できないように見えます。

しかし、\(\sqrt{32}\)や\(\sqrt{8}\)は次のように外に出せる数を持っています。

$$\sqrt{32}=\sqrt{4^2\times 2}=4\sqrt{2}$$

$$\sqrt{8}=\sqrt{2^2\times 2}=2\sqrt{2}$$

すると、あら不思議!

$$\sqrt{32}-\sqrt{8}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}$$

同じルートが見つかっちゃいましたね。

つまり、平方根の足し算、引き算では

外に出せる数があれば出しちゃえ!というのが大事なポイントとなります。

$$\begin{eqnarray}&&\sqrt{32}-\sqrt{8}+\sqrt{2}\\[5pt]&=&4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}\\[5pt]&=&(4-2+1)\sqrt{2}\\[5pt]&=&\color{red}{3\sqrt{2}} \end{eqnarray}$$

平方根の足し算、引き算の分数

次の計算をしなさい。

$$5\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}$$

ゆい
ゆい

出たよ、分数…

これはどうやれば…汗

分母にルートがあれば有理化だ!!

⇒ ★有理化の仕方★やり方をまとめておくよ!【中学生】

 

分母にルートがある場合には、まずは有理化をしましょう。

そうすることで道は切り拓かれる!

$$\begin{eqnarray}&&5\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}\\[5pt]&=&5\sqrt{2}+\frac{4\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\\[5pt]&=&5\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\[5pt]&=&\color{red}{7\sqrt{2}} \end{eqnarray}$$

 

次の計算をしなさい。

$$\frac{\sqrt{2}+3}{2}-\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$$

ゆい
ゆい

分母にルートがないですが…

分数の上にたくさんありますが…

落ち着いて通分しましょう!

分数の足し算、引き算の基本は通分です。分母の数をそろえていきましょう。

$$\begin{eqnarray}&&\frac{\sqrt{2}+3}{2}-\frac{2\sqrt{2}-1}{3} \\[5pt]&=&\frac{3(\sqrt{2}+3)}{6}-\frac{2(2\sqrt{2}-1)}{6}\\[5pt]&=&\frac{3(\sqrt{2}+3)-2(2\sqrt{2}-1)}{6}\\[5pt]&=&\frac{3\sqrt{2}+9-4\sqrt{2}+2}{6}\\[5pt]&=&\color{red}{\frac{-\sqrt{3}+11}{6}}\end{eqnarray}$$

かず先生
かず先生

以上の計算が理解できていれば、だいたいOKかな

ってことで、次は練習問題に挑戦してみよう!

ゆい
ゆい

な、なるほどね

これならいけるかもしれない!

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平方根の足し算、引き算【練習問題】

次の計算をしなさい。

$$5\sqrt{3}- 2\sqrt{3}$$

答えはこちら

答え

$$3\sqrt{3}$$

$$\begin{eqnarray}5\sqrt{3}- 2\sqrt{3}&=&(5-2)\sqrt{3}\\[5pt]&=&3\sqrt{3} \end{eqnarray}$$

 

次の計算をしなさい。

$$4\sqrt{3}- 5\sqrt{5}+3\sqrt{3}+6\sqrt{5}$$

答えはこちら

答え

$$7\sqrt{3}+\sqrt{5}$$

$$\begin{eqnarray}&&4\sqrt{3}- 5\sqrt{5}+3\sqrt{3}+6\sqrt{5} \\[5pt]&=&(4+3)\sqrt{3}+(-5+6)\sqrt{5}\\[5pt]&=&7\sqrt{3}+\sqrt{5}\end{eqnarray}$$

 

次の計算をしなさい。

$$2\sqrt{20}-\sqrt{45}$$

答えはこちら

答え

$$\sqrt{5}$$

$$\begin{eqnarray}2\sqrt{20}-\sqrt{45}&=&4\sqrt{5}-3\sqrt{5}\\[5pt]&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}$$

 

次の計算をしなさい。

$$\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{8}}$$

答えはこちら

答え

$$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$

$$\begin{eqnarray}\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{8}}&=&\sqrt{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\\[5pt]&=&\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\\[5pt]&=&\frac{4\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\\[5pt]&=&\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{eqnarray}$$

平方根の足し算、引き算【まとめ】

かず先生
かず先生

平方根の足し算、引き算についてサクッと解説してきたけど理解してもらえたかな?

掛け算や割り算とはちょっと計算ルールが異なるので注意が必要だね。

ルートの中身は足しちゃダメ!ってことを肝に銘じておこう。

ゆい
ゆい

OK,OK~♪

理解しましたぜ!

同じルートどうしを足したり、引いたりすればOKってことで!

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ゆい
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