二次方程式

【二次方程式】平方完成での解き方、奇数の場合も途中式を丁寧に解説!

ゆい
ゆい

二次方程式の解き方で、平方完成っていうのがあるじゃないですか?

式変形のやり方がサッパリ分からないんです…

途中式を丁寧に教えて欲しいです。

かず先生
かず先生

OK!めっちゃ丁寧にやっちゃうぜ!

というわけで、今回は中3で学習する二次方程式の単元から「平方完成のやり方」についてイチから解説していきます。

「平方完成の途中式がわからん!!」

「平方完成で奇数のときがややこしすぎる!!」

という方に向けて、平方完成の途中式をていねいに解説していきます。

【二次方程式】平方完成を使った解き方手順

次の二次方程式を平方完成を利用して解きなさい。

$$x^2+10x-16=0$$

それでは、こちらの方程式を平方完成によって解いていきましょう。

可能であれば、みなさんも紙とペンを用意して一緒に手を動かしながら式を変形させてみましょう。

 

まずは、数を右に移項して \(xの式=数\) となるように変形します。

この方程式であれば、-16を右辺に移項しましょう。

 

次に、\(x\)の前についている数(係数)の半分の二乗を両辺に足します。

ここが一番の難関ポイントです。

半分の二乗ですよ!ここは絶対に覚えておきましょう。

この方程式であれば、\(x\)の前についている10の半分は5。

そして、5の二乗である25を両辺に加えます。

 

すると、左辺が因数分解できる形になっているはずです。

左辺を因数分解すれば、平方完成できあがり!

手順通りにやっていれば、必ず\((xの式)^2\)という形に因数分解できます。

そうならなければ、途中の変形が間違っている可能性があるので見直してみましょう。

 

平方完成の形が作れたら、あとは平方根の考え方を利用して解いていくことができます。

 

  1. 数を右辺に移項して、\(xの式=数\) となるように変形する。
  2. \(x\)の係数の半分の二乗を両辺に加える。
  3. 左辺を因数分解、右辺を計算して平方完成の出来上がり!
  4. 平方根の考え方を利用して、解を求める。

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奇数の平方完成を丁寧に!

次の二次方程式を平方完成を利用して解きなさい。

$$x^2+5x+3=0$$

どんな二次方程式であっても、平方完成の手順は変わりません。

しかし、\(x\)の係数が奇数になっているときには、式変形の途中で分数が出てきてややこしくなります。汗

 

では、どのような途中式になるのか確認してみましょう。

やはり、複雑になってくるのが半分の二乗というて手順です。

奇数である5の半分というのは、\(\times \frac{1}{2}\)をして\(\frac{5}{2}\)として考えましょう。(小数を使って2.5とするのはややこしくなるからやめておきましょう)

そして、\(\frac{5}{2}\)の二乗である\(\frac{25}{4}\)を両辺に加えます。

 

その後、左辺を因数分解するのですが、ここでも分数が出てきます。

\(x\)の係数の半分である\(\frac{5}{2}\)を用いて因数分解することができると覚えておけば、乗り越えることができるでしょう。

さらに、右辺は分数の計算です。通分をして計算してください。

 

ややこしい分数計算を乗り越えたら、平方完成のできあがりとなります。

ゆい
ゆい

ふぅー…

だいぶややこしいね。汗

 

かず先生
かず先生

もう少し丁寧な解説が欲しいという方はこちらの動画をご参考ください。

実際に手を動かしながら平方完成をやっているので

途中の変形などが分かりやすいと思います(^^)

まとめ!

かず先生
かず先生

お疲れ様でした!

平方完成の手順を理解してもらえたかな?

「半分の二乗を両辺に加える」

この手順がとっても大切だから、しっかりと覚えておこうね。

ゆい
ゆい

OK,OK~♪

奇数のときがハードモードだったけど

あれは練習あるのみだね!

 

平方完成の解き方を理解したら次は解の公式に挑戦しよう!

⇒ 二次方程式の解の公式ってどうやって使う?イチからていねいに解説!

 

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