方程式の利用…
特に速さのやつが分かんないです…
文章問題ってだけでも難しいのに、速さについて考えないといけないなんて…
難易度MAXだね(^^;)
だけど、ちゃんと解くためのコツがあるから、それをマスターしておきたいね！
ってことで、今回の記事では中１で学習する一次方程式の利用問題から「道のり」「速さ」「時間」それぞれを求める文章問題について解説していくよ！
【一次方程式の利用】道のり・速さ・時間の文章題の解き方は？？
問題を考えていく前に、速さに関する基礎知識をおさらいしておきましょう。
~速さの公式~
（道のり）＝（速さ）×（時間）
（速さ）＝（道のり）÷（時間）
（時間）＝（道のり）÷（速さ）
道のり、速さ、時間については、上のような関係式が成り立ちます。
これらをバンバン使いながら文章問題を解いていくことになるから、しっかりと頭に入れておこう。
え、覚えるのシンドイんですが…
っていう方は…
「み・は・じ」の表を使って覚えよう！
この表を使えば、それぞれの関係式をすぐに思い出すことがでいます。
「道のり」を求めたい場合には、この表の「み」の部分を隠すと
こんな感じで、道のりを求めるための式を導くことができます。
他も同様。
ちょー便利だね♪
【一次方程式の利用】道のりを求める文章題の解き方
例題① 往復する時間差
A町とB町を往復するのに、行きは分速120mの速さで進み、帰りは分速80mの速さで進みました。すると、かかった時間が5分違った。このときのA町からB町までの道のりを求めなさい。
今回の問題では、A町からB町までの道のりを \(x\)mとして考えていきます。
| A⇒B（行き） | B⇒A（帰り） | |
| 道のり | $$x$$ | $$x$$ |
| 速さ | $$120$$ | $$80$$ |
| 時間 |
まずは、A町からB町まで行くときにかかった時間を表してみます。
A町からB町までは、道のり\(x\)、速さ120だから
$$行きの時間=x\div 120=\frac{x}{120}(分)$$
次に、B町からA町まで帰るときにかかった時間を表してみます。
B町からA町までは、道のり\(x\)、速さ80だから
$$帰りの時間=x\div 80=\frac{x}{80}(分)$$
| A⇒B（行き） | B⇒A（帰り） | |
| 道のり | $$x$$ | $$x$$ |
| 速さ | $$120$$ | $$80$$ |
| 時間 | $$\color{red}{\frac{x}{120}}$$ | $$\color{red}{\frac{x}{80}}$$ |
そして、問題文からそれぞれの時間が5分違ったとあるのですが。
行きと帰り、どちらの時間が短いか分かりますか？
えーっと
行きの方が進むのが早いから、行きの時間の方が短くなるはずだよね？
正解！！
ってことは、行きの時間に5分を加えてやれば、帰りの時間と等しくなるってことだよね。
だから、次のような方程式を作ることができます。
$$\begin{eqnarray} \frac{x}{120}+5 &=& \frac{x}{80}\\ \frac{x}{120}\times 240+5\times 240 &=& \frac{x}{80}\times 240\\ 2x+1200 &=& 3x\\-x &=& -1200\\x &=& \color{red}{1200}\end{eqnarray}$$
以上より、A町からB町までの道のりは1200mとなります。
例題② 往復する合計
A町とB町を往復するのに、行きは時速10kmの速さで進み、帰りは時速15kmの速さで進みました。すると、合計3時間かかりました。このときのA町からB町までの道のりを求めなさい。
こちらの問題も、途中まではさっきと同じように進めていきます。
A町からB町までの道のりを\(x\)kmとすると
A町からB町までは、道のり\(x\)、速さ10だから
$$行きの時間=x\div 10=\frac{x}{10}(時間)$$
次に、B町からA町まで帰るときにかかった時間を表してみます。
B町からA町までは、道のり\(x\)、速さ15だから
$$帰りの時間=x\div 15=\frac{x}{15}(時間)$$
| A⇒B（行き） | B⇒A（帰り） | |
| 道のり | $$x$$ | $$x$$ |
| 速さ | $$10$$ | $$15$$ |
| 時間 | $$\color{red}{\frac{x}{10}}$$ | $$\color{red}{\frac{x}{15}}$$ |
すると、今回の問題では行きと帰りの時間を合計すると3時間になるということから、それぞれの時間を足して式を作っていきます。
すると、次のような方程式を作ることができます。
$$\begin{eqnarray} \frac{x}{10}+\frac{x}{15} &=& 3\\ \frac{x}{10}\times 30+\frac{x}{15}\times 30 &=& 3 \times 30\\ 3x+2x &=& 90\\5x &=& 90\\x &=& \color{red}{18}\end{eqnarray}$$
以上より、A町からB町までの道のりは18kmとなります。
このように、道のりを求める文章問題では時間を文字で表すことによって方式を作っていきます。
時間差であれば、時間が短い方に加えて等しくする。
合計であれば、足し算で式を作る。
というのがそれぞれのポイントでした(^^)
【一次方程式の利用】時間を求める文章題の解き方
兄が家を出発してから12分後に弟が家を出発して、兄を追いかけました。兄の進む速さが分速60m、弟の進む速さが分速120mのとき、弟は家を出発してから何分後に兄に追いつくか。
げ…追いつくとか意味わかんねぇ…
方程式の追いつくという問題では…
2人の進んだ道のりが等しくなる
というのがポイント！
これをおさえておけば簡単な問題です。
弟が家を出発してから兄に追いつくまでの時間を \(x\)分とすると、次のように表を埋めることができます。
| 兄 | 弟 | |
| 道のり | ||
| 速さ | $$60$$ | $$120$$ |
| 時間 | $$x+12$$ | $$x$$ |
兄は弟よりも12分多く進んでいるはずだから時間は、\((x+12)\)分って表せるよね。
それでは、ここから兄の進んだ道のりを求めてみましょう。
兄の速さは60、時間は\((x+12)\)分なので
$$兄の道のり=60\times (x+12)=60(x+12)$$
弟の速さは120、時間は\(x\)分なので
$$弟の道のり=120\times x=120x$$
| 兄 | 弟 | |
| 道のり | $$\color{red}{60(x+12)}$$ | $$\color{red}{120x}$$ |
| 速さ | $$60$$ | $$120$$ |
| 時間 | $$x+12$$ | $$x$$ |
そして、追いついたということは2人の進んできた道のりが等しくなったということなので次のような方程式を作ることができます。
$$\begin{eqnarray} 60(x+12)&=&120x \\ 60x+720&=&120x \\ 60x-120x&=&-720\\ -60x&=&-720\\ x&=&\color{red}{12}\end{eqnarray}$$
よって、弟は出発してから12分後に兄に追いつくということが分かりました。
このように、追いつくという問題では出発してからの時間を\(x\)とし、それぞれの道のりを文字で表し方程式を作っていくことになります。
【一次方程式の利用】道のり、速さ、時間の文章題まとめ！
お疲れ様でした！どうだったかな？
ワンパターンな問題が多いから、上で紹介したような文章題を理解してもらえれば解ける問題は増えると思います(^^)
わかった！
上のやつは解き方理解したから、あとはワークなどでたくさん練習するね
文章題をマスターするためには、練習あるのみです！
上の解き方を参考に、たっくさん練習してテストでいい点とっちゃおうぜ★