【関数】変化の割合の求め方って？公式などをまとめておくよ！

変化の割合って苦手な人多いよね。

っていうか、簡単なんだけど

忘れちゃってて解けないってことが多いね(^^;)

 

だから、今回の記事では変化の割合についてまとめておくよ！

【関数】変化の割合の求め方って？公式などをまとめておくよ！

\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合のことを変化の割合といいます。

式で表すと次のようになります。

求め方は単純なことで、\(x\)と\(y\)がそれぞれどれくらい増えたかを求めて、割り算すればよいだけです。

 

それでは、中学で学習する関数について

それぞれの変化の割合がどのように求めれるのか見ていきましょう。

【反比例】変化の割合の求め方

次のような対応表を作って、\(x\)と\(y\)がそれぞれどれくらい増加したのかを見ていきます。

$$x$$	$$2$$	$$\cdots$$	$$4$$
$$y$$

 

\(x=2\) のとき

$$\begin{eqnarray}y=\frac{8}{2}=4 \end{eqnarray}$$

\(x=4\) のとき

$$\begin{eqnarray}y=\frac{8}{4}=2 \end{eqnarray}$$

$$x$$	$$2$$	$$\cdots$$	$$4$$
$$y$$	$$\color{red}{4}$$	$$\cdots$$	$$\color{red}{2}$$

すると、このように表を埋めることができました。

ここから、\(x\)と\(y\)の増加量を見比べていきましょう。

\(x\)は2から4に変化しているので

$$xの増加量=4-2=2$$

\(y\)は4から2に変化しているので

$$yの増加量=2-4=-2$$

 

よって、反比例の変化の割合は

$$変化の割合=\frac{-2}{2}=\color{red}{-1}$$

となります。

同じように対応表を作って、それぞれの増加量を見比べると次のようになります。

$$x$$	$$-8$$	$$\cdots$$	$$-2$$
$$y$$	$$\color{red}{-1}$$	$$\cdots$$	$$\color{red}{-4}$$

$$xの増加量=-2-(-8)=6$$

$$yの増加量=-4-(-1)=-3$$

よって、変化の割合は

$$変化の割合=\frac{-3}{6}=\color{red}{-\frac{1}{2}}$$

 

 

反比例の変化の割合について、もう１つだけ知っておいてもらいたいことがあります。

今、同じ反比例の式である\(\displaystyle{y=\frac{8}{x}}\) において変化の割合を求めてもらいましたが

\(x\)の値が\(2\)から\(4\)まで増加したとき　⇒　変化の割合は\(1\)

\(x\)の値が\(-8\)から\(-2\)まで増加したとき　⇒　変化の割合は\(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\)

このように、\(x\)の値が異なれば変化の割合も異なっています。

つまり、反比例においては変化の割合は一定ではない。

ということもあわせて覚えておきましょう。

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【一次関数】変化の割合の求め方

一次関数（比例を含む）では、変化の割合はラクして求めていきましょう。

どのようにラクをするかというと…

基本的な求め方は同じなんだけど、結局のところ…

一次関数の傾きと等しくなる！

という特徴があります。

 

なので、計算をして求める必要はなく、一次関数の傾きを読み取れば終了となります。

一次関数の変化の割合は、傾きと等しくなるのだから

変化の割合は２！

となります。終了！

一応、対応表を使って確かめをしてみましょうか。

$$x$$	$$2$$	$$\cdots$$	$$5$$
$$y$$	$$\color{red}{9}$$	$$\cdots$$	$$\color{red}{15}$$

$$xの増加量=5-2=3$$

$$yの増加量=15-9=6$$

よって、変化の割合は

$$変化の割合=\frac{6}{3}=\color{red}{2}$$

というわけで、一次関数の変化の割合を求めたいときには傾きを読み取ればOKです。

\(x\)の値は関係ないということで、一次関数においては変化の割合は一定ということになります。

【二乗に比例する関数】変化の割合の求め方

二乗に比例する関数においても、一次関数のとき同様

簡単に求める方法があるぞ！

このように求めることができます。

もちろん、増加量を調べて割り算する方法でも求めれるんだけど、こっちの方が圧倒的にラクです。

上で紹介した式に当てはめて求めてみましょう。

$$変化の割合=3(1+4)=\color{red}{15}$$

一応、対応表を使って確かめをしてみましょうか。

$$x$$	$$1$$	$$\cdots$$	$$4$$
$$y$$	$$\color{red}{3}$$	$$\cdots$$	$$\color{red}{48}$$

$$xの増加量=4-1=3$$

$$yの増加量=48-3=45$$

よって、変化の割合は

$$変化の割合=\frac{45}{3}=\color{red}{15}$$

【関数】変化の割合の求め方まとめ！

変化の割合は、どんな関数においても

$$変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}$$

これを使って求めることができるんだけど

一次関数は傾きと等しい。

二乗に比例する関数は \(a(p+q)\) で求めれる。

など、それぞれの関数においてラクな求め方が存在します。

 

なので、なるべーく

ラクなやり方でできるように知識を整理しておいてください(^^)

 

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