放物線と直線…そして、面積…
マジで難しそうなんだけど…
というわけで、今回は中3で学習する関数\(y=ax^2\)の利用問題から「放物線と直線による面積」について解説していきます。
こんなやつだね！
定期テストだけじゃなく、入試でもよく出題される大事な問題だよ。
この記事を通してイチから解けるようになろう！
グラフの問題で面積を考えるっていうときは
座標をちゃんと求めれるかがポイントになるよ！
放物線と直線による面積の求め方
次のグラフにおいて、直線ABの式、または△AOBの面積を求めなさい。
問題の流れとしては
直線の式を求める ⇒ 三角形の面積を求める
というのが一般的です。
まずは直線の式をサクッと求めてしまいましょう。
直線の式を求めるためには2点の座標に注目すればOKです。
点\(A(-2,2)\)と点\(B(4,8)\)を通るということから式を作ります。
直線の式 \(y=ax+b\)に\((-2,2),(4,8)\)を代入すると
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2=-2a+b …① \\ 8=4a+b …② \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
という連立方程式ができます。これを①-②で計算すると
$$\begin{eqnarray}-6&=&-6a\\[5pt]a&=&1 \end{eqnarray}$$
\(a=1\)を①に代入すると
$$\begin{eqnarray}2&=&-2+b\\[5pt]4&=&b \end{eqnarray}$$
以上より、直線ABの式は \(\color{red}{y=x+4}\) となる。
2点を通る直線の式についてはこちらの動画でも解説しています。
どうだったっけ？という方は確認しておいてください(^^)
面積を求める考え方
直線の式が求まったら、次は面積を考えていきましょう。
三角形が斜めになってるけど
どこを底辺、高さって考えたらいいんだろうか…
たしかに、そこが問題だよね！
だからね…
分割して考えればいいんだよ！
というわけで、斜めになっている三角形を分割して考えていきましょう。
すると、底辺と高さを読み取りやすくなります。
まずは、青の三角形から面積を求めてみましょう。
直線の式から切片が4だと分かりますね。
これを利用すると三角形の底辺は4となります。
次に、点Aの\(x\)座標であるー2に注目すると、高さは2だと分かります。
以上より、青の三角形の面積は\(\color{red}{4}\)となりました。
次にオレンジの三角形の面積を考えてみましょう。
先ほどと同じように切片が4ということから三角形の底辺は4となります。
次に、点Bの\(x\)座標である4に注目すると、高さは4だと分かります。
以上より、オレンジの三角形の面積は\(\color{red}{8}\)となりました。
それぞれの面積が求まれば、△AOBはできたも同然！
このように、それぞれの面積を足してやればOKです。
$$△AOB=4+8=\color{red}{12}$$
なんだ！簡単だね！
分割してやると長さが分かりやすくなってイイね！
文章での説明だけでは分かりにくい点もあったかと思います。
こちらの動画で詳しい解説をつけているのでご参考ください(^^)
まとめ！
お疲れ様でした！
サクッと解説してきたけど、どうだったかな？
初めて解くときには難しく感じる問題かもしれないね。
だけど、やることは単純だし一度解けるようになると、あとは数字が変わるだけなので楽勝だぞ！
しっかり練習して解けるようにしておこうね。
OK,OK～♪
分割すること、座標から長さを出すこと
これをしっかりと覚えておけば大丈夫だね！
