平面図形、空間図形

★扇形の中心角の求め方★途中式をていねいに解説!面積、弧の長さから求める方法

ゆい
ゆい

扇形の中心角を求めれるようになりたいですっ!!

かず先生
かず先生

よし!

それじゃぁ、扇形の中心角について学んでいこう!

今回の記事では扇形の中心角を求める方法について解説していきます。

中心角を求める方法には何パターンかのやり方があります。

どのやり方が自分に合ってるかを考えながら、解法を身につけていきましょう!

かず先生
かず先生

求め方の途中式も丁寧に解説していくよ!

扇形の公式

~扇形の公式~

$$(面積)=\pi r^2\times \frac{(中心角)}{360}$$

$$(弧の長さ)=2\pi r\times \frac{(中心角)}{360}$$

かず先生
かず先生

扇形の中心角を求めるためには、面積と弧の長さの公式を覚えておきたいね!

扇形の中心角を求める【方程式を利用】

半径が3㎝、弧の長さが3\(\pi\)㎝の扇形の中心角を求めなさい。

まずは、方程式を使って扇形を求める方法について解説していきます。

求めたい中心角を \(x\) とおいて、方程式を作っていきます。

中心角を \(x\) とすると、問題文から弧の長さが与えられているので

$$2\times \pi \times 3\times \frac{x}{360}=3\pi$$

という方程式を作ることができます。

まずは両辺から\(\pi\)を消し、左辺を約分します。

$$\frac{x}{60}=3$$

両辺に×60して、中心角の値を求めます。

$$\frac{x}{60}\times 60=3\times 60$$

$$x=180°$$

かず先生
かず先生

完成!

\(\pi\)は最初の段階で、両辺から消してやると計算がラクになるよ!

それでは、問題文に面積が与えられた場合の求め方についても練習してみましょう。

【練習問題】

半径6㎝、面積が12\(\pi\)㎠の扇形の中心角を求めなさい。

答えはこちら

中心角を \(x\) とすると、扇形の面積公式を利用し

$$\pi \times 6^2\times \frac{x}{360}=12\pi$$

という方程式を作ることができます。

あとは、この方程式を解いていくだけです。

$$\frac{x}{10}=12$$

$$\frac{x}{10}\times 10=12\times 10$$

$$x=120°$$

よって、扇形の中心角は120°となります。

 

方程式を利用して中心角を求める手順
  1. 中心角を \(x\) とする
  2. 問題文に与えられた面積、弧の長さの公式を用いて方程式を作る
  3. 両辺から \(\pi\) を消し、方程式を解く
  4. 完成!

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扇形の中心角を求める【比を利用】

半径が9㎝、弧の長さが3\(\pi\)㎝の扇形の中心角を求めなさい。

次は比を利用して、中心角を求める方法について解説します。

同じ半径を持つ円と扇形を比べることで、中心角を求めるという考え方です。

半径が9㎝の円の円周の長さは、\(2\times \pi\times 9=18\pi(cm)\)

半径が9㎝の扇形の弧の長さは、問題文より \(3\pi(cm)\) です。

これらの比が中心角の比と等しくなるのだから

中心角を \(x\) とすると次のような比が作れます。

$$3\pi:18\pi=x:360$$

$$18\pi x=1080\pi$$

$$18x=1080$$

$$x=60°$$

このように中心角を求めることができます。

方程式を利用して解く方法よりも計算が少なくて楽ですね!

かず先生
かず先生

円と扇形を比較して中心角を求める!

弧の長さが与えられたら、円周の長さと比較

面積が与えられたら、円の面積と比較だね。

【練習問題】

半径4㎝、面積が4\(\pi\)㎠である扇形の中心角を求めなさい。

答えはこちら

問題文に面積が与えられているので、円と扇形の面積を比較しながら中心角を求めます。

半径が4㎝の円の面積は、\(\pi\times 4^2=16\pi(cm^2)\)

半径が4㎝の扇形の面積は、問題文より \(4\pi(cm^2)\) です。

よって、それぞれを比較すると次のような比を作ることができます。

$$4\pi:16\pi=x:360$$

$$16\pi x=1440\pi$$

$$16 x=1440$$

$$x=90°$$

 

比を利用して中心角を求める手順
  1. 同じ半径を持つ円を作る
  2. 弧の長さと円周の長さ、面積と面積というように比較する
  3. 扇形の中心角を \(x\)、円の中心角を360°として比を作る
  4. 方程式を解く
  5. 完成!

扇形の中心角を求める【練習問題】

半径が5㎝、弧の長さが6\(\pi\)㎝である扇形の中心角を求めなさい。

答えはこちら

【方程式利用パターン】

中心角を \(x\) とすると

$$2\pi\times 5\times \frac{x}{360}=6\pi$$

$$\frac{x}{36}=6$$

$$x=6\times 36$$

$$x=216°$$

【比を利用パターン】

半径5㎝の円の円周の長さは、\(2\times \pi \times 5=10\pi(cm)\)

半径5㎝の扇形の弧の長さは、問題文より \(6\pi(cm)\)

中心角を\(x\)として比を作ると

$$6\pi :10\pi=x:360$$

$$10\pi x=2160\pi$$

$$10x=2160$$

$$x=216°$$

 

半径が4㎝、面積が2\(\pi\)㎠である扇形の中心角を求めなさい。

答えはこちら

【方程式利用パターン】

中心角を \(x\) とすると

$$\pi\times 4^2\times \frac{x}{360}=2\pi$$

$$\frac{2x}{45}=2$$

$$2x=2\times 45$$

$$2x=90$$

$$x=45°$$

【比を利用パターン】

半径4㎝の円の面積は、\(\pi \times 4^2=16\pi(cm^2)\)

半径4㎝の扇形の面積は、問題文より \(2\pi(cm^2)\)

中心角を\(x\)として比を作ると

$$2\pi :16\pi=x:360$$

$$16\pi x=720\pi$$

$$16x=720$$

$$x=45°$$

扇形の中心角を求める【まとめ】

ゆい
ゆい

ちょっとややこしかったけど

理解したぞ!

私は比を利用したやり方が好きかな♪

かず先生
かず先生

それは良かった!

中心角を求める計算は、分数や文字がたくさん出てくるからミスが起こりやすくなるよ。

たくさん練習して完璧にしておこうね!

 

今回の記事では、方程式を利用した解き方、比を利用した解き方について解説しました。

どちらのやり方が自分には合っていましたか?

何度も練習して確実に解けるようにしておこうね!

 

最後に扇形の公式を確認して終わりにしましょう。

~扇形の公式~

$$(面積)=\pi r^2\times \frac{(中心角)}{360}$$

$$(弧の長さ)=2\pi r\times \frac{(中心角)}{360}$$

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