★扇形の中心角の求め方★途中式をていねいに解説！面積、弧の長さから求める方法

中心角を \(x\) とすると、扇形の面積公式を利用し

$$\pi \times 6^2\times \frac{x}{360}=12\pi$$

という方程式を作ることができます。

あとは、この方程式を解いていくだけです。

$$\frac{x}{10}=12$$

$$\frac{x}{10}\times 10=12\times 10$$

$$x=120°$$

よって、扇形の中心角は120°となります。

問題文に面積が与えられているので、円と扇形の面積を比較しながら中心角を求めます。

半径が4㎝の円の面積は、\(\pi\times 4^2=16\pi(cm^2)\)

半径が4㎝の扇形の面積は、問題文より \(4\pi(cm^2)\) です。

よって、それぞれを比較すると次のような比を作ることができます。

$$4\pi:16\pi=x:360$$

$$16\pi x=1440\pi$$

$$16 x=1440$$

$$x=90°$$

【方程式利用パターン】

中心角を \(x\) とすると

$$2\pi\times 5\times \frac{x}{360}=6\pi$$

$$\frac{x}{36}=6$$

$$x=6\times 36$$

$$x=216°$$

【比を利用パターン】

半径5㎝の円の円周の長さは、\(2\times \pi \times 5=10\pi(cm)\)

半径5㎝の扇形の弧の長さは、問題文より \(6\pi(cm)\)

中心角を\(x\)として比を作ると

$$6\pi :10\pi=x:360$$

$$10\pi x=2160\pi$$

$$10x=2160$$

$$x=216°$$

【方程式利用パターン】

中心角を \(x\) とすると

$$\pi\times 4^2\times \frac{x}{360}=2\pi$$

$$\frac{2x}{45}=2$$

$$2x=2\times 45$$

$$2x=90$$

$$x=45°$$

【比を利用パターン】

半径4㎝の円の面積は、\(\pi \times 4^2=16\pi(cm^2)\)

半径4㎝の扇形の面積は、問題文より \(2\pi(cm^2)\)

中心角を\(x\)として比を作ると

$$2\pi :16\pi=x:360$$

$$16\pi x=720\pi$$

$$16x=720$$

$$x=45°$$