【完全版】一次関数のグラフから利用問題まで解き方まとめ！

この記事では、中学で学習する一次関数について

一次関数の基礎、グラフの書き方、式の作り方、文章問題などなど

基礎から応用にいたるまで問題の解き方をまとめていきます。

一次関数の問題で困ったことがあれば、この記事を参考にしてもらえると嬉しいです(^^)

一次関数とは

一次関数の式にでてくる\(a\)のことを傾き（かたむき）

\(b\)のことを切片（せっぺん）といいます。

あとで一次関数のグラフや式をつくっていくときに、とっても大切な言葉になるから覚えておきましょう！

 

と、まぁ、説明だけでは分かりにくい部分もあるので具体例を見てみましょう。

では、次の式の中から一次関数の式を見つけてみましょう。

まず、答えからお伝えしておくと…①③が一次関数の式となります。

①\(y=3x+1\) は \(y=ax+b\) の形そのままなので分かりやすいですね。

②\(\displaystyle{y=\frac{5}{x}}\) は\(x\)が分母にあり、反比例の式を表しています。

③\(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x}\)はパッと見たところ、一次関数ではないように見えますが…これは\(a=-\frac{1}{2},　b=0\) になっている一次関数の式です。

④\(y-4=2x^2\) は式を変形して、\(y=2x^2+4\) の形にすると\(x\)が二乗になっていて、二次式になっていることがわかります。よって、④は二次関数ってことなのでダメ！

 

 

一次関数の増加量（変化の割合）

増加量や変化の割合の問題では、上で紹介した式を覚えておきましょう。

 

変化の割合とは、\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量を表したものです。

数学っぽい表現で難しく思えてしまいますが、単純なことです。

どれくらいのペースで増えたり、減ったりしますか？？

ということを表しているのが変化の割合です。

 

グラフを書くことで確かめることができるのですが、一次関数は常に一定の割合で増えたり、減ったりするという特徴を持っています。

なので、一次関数の変化の割合は常に一定であり、さらには傾き\(a\) と等しくなります。

これは結構大事なことなのでしっかりと覚えておきましょう。

 

では、一次関数の変化の割合を扱った問題を見てみましょう。

増加量っていうのは、どれくらい数が増えた？減った？ということです。

（1）では、\(x\)の値が3から5まで増加したとき、\(x\)はどれくらい増えた？ということを問うています。

これは簡単だね！

$$5-3=2$$

このように、変化後の値から変化前の値を引いてやれば増加量を求めることができます。

（2）\(y\) の増加量を求める場合には、まず\(y\) の値を求める必要があります。ということで一次関数の対応表を作ってみましょう。

$$x$$	$$3$$	$$\cdots$$	$$5$$
$$y$$	$$\color{red}{-11}$$	$$\cdots$$	$$\color{red}{-17}$$

すると、\(y\) の増加量は \(-17-(-11)=-6\) ということがわかります。

\(y\)の方は数が減っているので、増加量はマイナスになってしまいますね。

（3）変化の割合を求めてみましょう。

（1）（2）より\(x, y\)の増加量を求めているので、これを変化の割合の公式に当てはめてみます。

$$変化の割合=\frac{-6}{2}=\color{red}{-3}$$

すると、変化の割合は \(-3\) になることが求まりました！

 

そして、ここで注目しておきたいのが…

さきほど求めた変化の割合は、\(y=-3x-2\) の傾き\(-3\) と一致しているってことが分かるね！

というわけです。

なので、わざわざ変化の割合の式に当てはめる必要はありません。

一次関数の式を見て、傾きを読み取ればOKです。

 

では、もう1問だけやって変化の割合は完成にしましょう。

\(y\) の増加量を求めるには

$$(yの増加量)=(変化の割合)\times (xの増加量)$$

を使うという方法もあります。

 

\(y=-3x-2\)の式から、傾き\(-3\)ということが読み取れるので

$$(yの増加量)=-3 \times 5=-15$$

となります。

一次関数のグラフの特徴と書き方

グラフの書き方（手順）

では、これらの手順にそって一次関数のグラフを書いてみましょう。

まずは、式から傾きと切片を読み取ります。

すると、傾き\(2\)、切片\(-3\) ということがわかりますね。

 

次に、\(y\)軸上に切片\(-3\)の点を取ります。

次に傾きをみましょう。

傾きの値を分数の形にします。

$$2=\frac{2}{1}$$

そして、傾きの分母の数だけ右、分子の数だけ上下に動いたところに点をとります。

今回の式であれば、右に１いって上に２上がったところに点をとります。

 

そして、切片と傾きから2点を取ることができれば線で結んで完成です！

他にもグラフの例を見ておきましょう。

傾きが分数になっていても恐れることはありませんね。

むしろ、傾きが初めから分数になっている方が動きが読み取りやすくて楽ですね！

 

傾きがマイナスになっている場合には、下に動いていくようになるので注意だね。

切片が分数の場合

一次関数のグラフを書く問題の中でも、ちょっと応用なのがこれ。

切片が分数になっているパターンです。

なので、こういう場合にはちょっとひと手間を加えます。

切片が正確にとれないので…対応表を使って、\(x,y\)座標ともに整数となる点を見つけます。

$$x$$	$$0$$	$$\color{red}{1}$$	$$2$$
$$y$$	$$-\frac{1}{2}$$	$$\color{red}{1}$$	$$\frac{5}{2}$$

あ、\((1,1)\) を通るぞ！ってことがわかるね。

こうやって整数の座標を見つけたら、切片の代わりに点をとりましょう。

 

ここからは通常通り！

傾きから点をとって、線で結べば完成です。

二元一次方程式のグラフ

一次関数の単元では、二元一次方程式をグラフにするという問題もあります。

二元一次方程式とは、次のような式のことです。

たしかに、その通りだね。

なので、二元一次方程式をグラフにする場合には、ちょっと式を変形して傾きと切片が調べるところからスタートしていきます。

まずは、こちらの二元一次方程式を考えてみましょう。

まずは、一次関数の見慣れた式にすべく、\(y=\cdots\)の形になるよう式変形していきましょう。

$$\begin{eqnarray} 4x-2y+6&=&0\\[5pt]-2y&=&-4x-6\\[5pt]y&=&(-4x-6)\div(-2)\\[5pt]y&=&2x+3\end{eqnarray}$$

そうすると、傾き\(2\) 切片\(3\) の一次関数とみることができます。

 

では、次はちょっと変わったやつを見ておこう！

そうだね、このように\(x,y\)が１つしかないようなグラフも扱っていくようになります。

だけど、これはすっごく簡単だ！

まずは、\(x-5=0\) のグラフを書いてみよう。

$$\begin{eqnarray}x-5&=&0\\[5pt]x&=&5 \end{eqnarray}$$

このように式変形をして、\(x=\cdots\)の形を作りましょう。

そして、\(x\)軸上の5となるところに点をとります。

 

あとは、縦に線を引けば完成です！

この直線上の点は、\((5,0) (5,1) (5,2)\cdots\) のように\(x\)座標が全て\(5\)になっていることがわかるね！

 

次に、\(3y+6=0\) のグラフを書いてみましょう。

$$\begin{eqnarray}3y+6&=&0\\[5pt]3y&=&-6\\[5pt]y&=&-2 \end{eqnarray}$$

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グラフから式を求める

では、上の手順にそってグラフから一次関数の式を求めてみましょう。

グラフから式を求める【基本】

まずは、\(y\)軸上の点から切片を読み取りましょう。

すると、この直線の切片は\(1\)であることがわかりますね。

 

次に、切片を基準に直線がどれくらい進んでいるのかを読み取りましょう。

すると、右に3進んで上に1進んでいることが分かりますね！

よって、この直線の傾きは\(\frac{1}{3}\) と求まりました。

 

傾き\(\frac{1}{3}\) 、切片\(1\) ということから

直線の式は、\(y=\frac{1}{3}x+1\) となります。

 

では、練習問題を用意しておくので理解を深めておきましょう！

切片がわからないグラフ【発展】

 

まずは、\(x,y\)座標がともに整数となっている点を１つ見つけます。

その点を基準に、グラフがどれくらい変化しているかを読み取りましょう。

すると、右に1進み上に5進んでいるので、傾きが\(5\)になることが分かります。

 

この直線は、傾きが\(5\)、\((3,1)\)を通る。

このことから直線の式を作っていきます。

傾きが\(5\) ということから、\(y=5x+b\) という式が作れます。

これに\((3,1)\) を通るということから、\(x=3,　y=1\) を代入します。

$$\begin{eqnarray}1&=&5\times 3+b\\[5pt]1&=&15+b\\[5pt]-14&=&b \end{eqnarray}$$

このようにして、切片が\(-14\) になることがわかりました。

 

以上より、この直線は傾き\(5\) 切片\(-14\) ということが読み取れたので

$$y=5x-14$$

という式になります。

一次関数の変域を求める

変域を求める問題の解き方

まずは、\(y=2x+1\) のグラフを書きましょう。

このグラフを\(-1≦x≦2\) の部分で切り取ります。

 

すると…

このように縦の範囲が、\(-1\)から\(5\)になることがわかりますね。

よって、\(y\)の変域は \(-1≦y≦5\) となります。

ごもっともですｗ

一次関数の変域を求める場合には、わざわざグラフを書かなくても簡単に求めることができます。

\(-1≦x≦2\)の両端である\(x=-1\),\(x=2\) の\(y\)座標を求めます。

\(x=-1\)のとき、\(y=-2+1=-1\)

\(x=2\)のとき、\(y=4+1=5\)

それぞれの\(y\)座標が求まったら、小さいほうを左に、大きいほうを右になるよう

\(y小≦y≦y大\) と書けば\(y\)の変域が完成です！

よって、\(-1≦y≦5\) となるわけですね。

変域から式を作る問題の解き方

難しく見えるけど、ちゃんと理由を分かっていれば簡単！

それぞれの変域から直線の式が通る座標を求めましょう。

傾きが負ということから、右下がりの直線を書きます。

ヨコの範囲が\(-2\)から\(3\)、タテの範囲が\(0\)から\(5\)となるように書き込むと…

このように\((-2,5)\)と\((3,0)\)を通るということが分かります。

 

あとの章で学習する「一次関数の式を求める」でもやりますが、直線が通る2点の座標がわかれば連立方程式を使って式を求めることができます。

\(y=ax+b\) に\((-2,5)\)と\((3,0)\)を代入すると

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5=-2a+b \\ 0=3a+b \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(b\)の係数が揃っているので、両方の式を引いて加減法で解いていくとラクですね(^^)

すると、\(a=-1,  b=3\) となるので、傾き\(-1\) 切片\(3\) と求まりました。

 

よって、一次関数の式は\(y=-x+3\) です。

一次関数の式の求め方

では、一次関数の式の求め方をパターン別に学習していきましょう。

傾きがわかる場合

傾きがわかっているので、\(y=ax+b\) の\(a\)部分に\(3\)を入れましょう。

すると、\(y=3x+b\) という式ができますね。

次に、\((2,5)\) を通るということから、\(x=2, y=5\) を\(y=3x+b\)に代入します。

$$\begin{eqnarray}5&=&3\times 2+b\\[5pt]5&=&6+b\\[5pt]5-6&=&b\\[5pt]-1&=&b \end{eqnarray}$$

このように計算して、切片が\(-1\) になると求まりました。

よって、この直線は傾きが\(3\) 切片が\(-1\) となるので直線の式は \(y=3x-1\) となりました。

切片がわかる場合

切片がわかっているので、\(y=ax+b\) の\(b\)部分に\(1\)を入れましょう。

すると、\(y=ax+1\) という式ができますね。

次に、\((1,-2)\) を通るということから、\(x=1, y=-2\) を\(y=ax+1\)に代入します。

$$\begin{eqnarray}-2&=&a\times 1+1\\[5pt]-2&=&a+1\\[5pt]-2-1&=&a\\[5pt]-3&=&a \end{eqnarray}$$

このように計算して、傾きが\(-3\) になると求まりました。

よって、この直線は傾きが\(-3\) 切片が\(1\) となるので直線の式は \(y=-3x+1\) となりました。

変化の割合がわかる場合

一次関数の変化の割合は傾きと等しいでしたね！

なので、変化の割合が\(3\) というのは、傾きが\(3\) であるということを表しています。

このことに気が付けば、先ほどやった傾きがわかっている場合と同じように解くことができます。

$$\begin{eqnarray}y&=&3x+b\\[5pt]-2&=&3\times 2+b\\[5pt]-2&=&6+b\\[5pt]-2-6&=&b\\[5pt]-8&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=3x-8\) となります。

増加量がわかる場合

増加、減少…とくれば、そこから傾きを求めます。

傾きが\(-\frac{2}{3}\) だと読み取ることができます。

傾きがわかれば、基本通りのやり方で式を求めることができますね！

$$\begin{eqnarray}y&=&-\frac{2}{3}x+b\\[5pt]4&=&-\frac{2}{3}\times 3+b\\[5pt]4&=&-2+b\\[5pt]4+2&=&b\\[5pt]6&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-\frac{2}{3}x+6\) となります。

2点の座標がわかる場合

まずは、2点の座標から傾きを求めちゃうやり方からみていこう。

 

平行になっている場合

平行な直線は傾きが等しい！というのがポイントです。

\(y=-x+5\)と平行な直線というのは、傾きが\(-1\)になるということを表しています。

すると、この問題は傾きが\(-1\)で、点\((2,4)\)を通る直線の式を求めろ！といっているのと同じことです。

$$\begin{eqnarray}y&=&-x+b\\[5pt]4&=&-2+b\\[5pt]4+2&=&b\\[5pt]6&=&b \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-x+6\) となります。

\(y\)軸上で交わる場合

\(y\)軸上で交わるというのは、切片が等しいということを表しています。

よって、\(y=2x+3\)と\(y\)軸上で交わるということから、切片が\(3\)になることがわかります。

つまり、切片が\(3\)で、点\((1,1)\)を通る直線の式を求めろ！といっているのと同じことです。

$$\begin{eqnarray}y&=&ax+3\\[5pt]1&=&a+3\\[5pt]1-3&=&a\\[5pt]-2&=&a \end{eqnarray}$$

よって、直線の式は\(y=-2x+3\) となります。

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グラフの交点を求める

では、具体例をみてみましょう。

まずは、2直線の式を求めましょう。

切片と傾きをそれぞれ読み取ると

このように式ができあがります。

 

2直線の式ができたら、連立方程式を作って解いていきましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}x-1 …① \\ y=-\frac{3}{2}x+4 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

一次関数の式は、\(y=\cdots\) の形になっていることが多いので、代入法を使って解いていくとラクでよいですね！

②を①に代入すると

$$\begin{eqnarray}-\frac{3}{2}x+4&=&\frac{1}{2}x-1\\[5pt]-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x&=&-1-4\\[5pt]-2x&=&-5\\[5pt]x&=&\frac{5}{2} \end{eqnarray}$$

\(x=\frac{5}{2}\) を①に代入すると

$$\begin{eqnarray}y&=&\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}-1\\[5pt]&=&\frac{5}{4}-1\\[5pt]&=&\frac{1}{4} \end{eqnarray}$$

よって、連立方程式の解は \(x=\frac{5}{2},　y=\frac{1}{4}\) となりました。

 

このことから、2直線の交点の座標は\(\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{4} \right) \) となります。

 

一次関数と図形、面積を求める

すこし発展的な内容になるんだけど、ここでは一次関数と図形を組み合わせた問題をみていこう。

代表的なのは次のような面積を考える問題です。

図形の面積を求めるには、辺の長さが必要になります。

辺の長さを求めるために、まずは各頂点の座標を求めましょう。

点Aの座標は、2直線の交点なので連立方程式を用いて求めます。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}x+3 …① \\ y=-x+6 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

これを解くと、点Aの座標は\((2,4)\) となります。

 

点Bは、\(y=\frac{1}{2}x+3\)の\(x\)軸との交点です。

なので、\(y=0\) を\(y=\frac{1}{2}x+3\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}0&=&\frac{1}{2}x+3\\[5pt]-\frac{1}{2}x&=&3\\[5pt]x&=&-6 \end{eqnarray}$$

よって、点Bの座標は\((-6, 0)\) となります。

 

点Cも同様に、\(y=0\) を\(y=-x+6\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}0&=&-x+6\\[5pt]x&=&6\end{eqnarray}$$

よって、点Cの座標は\((6, 0)\) となります。

 

それぞれの座標が求まったら、底辺や高さを求めます。

底辺にあたる辺BCの長さは、点Bと点Cの\(x\)座標から12とわかります。

次に高さにあたる部分の長さは、点Aの\(y\)座標から4とわかります。

 

すると、△ABCは底辺12、高さ4なので

$$△ABC=12\times 4\times \frac{1}{2}=24$$

となりました。

一次関数【利用問題、文章問題】

ここからは一次関数の利用問題、文章問題をパターン別に学習していきましょう！

水槽の利用問題

ややこしそうに見える問題ですが…めちゃくちゃ簡単だ！

対応表を作って考えてみましょう。

$$x（分）$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$\cdots$$
$$y（L）$$	$$5$$	$$8$$	$$11$$	$$\cdots$$

水槽には5Lの水が入っているので、\(x=0\)のとき\(y=5\) となります。

このことから切片は\(5\)ということがわかります。

次に、毎分3Lずつ水が増えていくのだから傾きは\(3\)となります。

 

以上から、\(y=3x+5\) と求まりました！

水槽に入っている水の量が切片

1分間に水が増える割合が傾きになります。

対応表をつくってみて、どれくらいの割合で増加しているのか、\(x=0\)のときに\(y\)はどうなっているのかを読み取れば、簡単に式を作ることができます。

 

また、\(x\)の変域ですが、\(x\)は時間を表しています。

なので、何分で満水になるかを考えればOKです。

水槽に入れることができる水の量は、あと45L。

毎分3Lずる水が増えていくので、\(45\div 3=15分\) で満水になることがわかります。

よって、\(x\)の変域は \(0≦x≦15\)となります。

 

追いつく、道のりを考える利用問題

 

グラフから速さを読み取る場合には、増加量に注目だ！！

グラフから、Aくんは10分で2㎞進んでいることが読み取れます。

ということは…

1時間で12㎞進んでいることが分かりますね！

よって、Aくんの速さは時速12㎞ということになります。

利用問題のグラフを式にしたい場合、これは基本的なやり方と同じです。

切片と傾きをそれぞれ読み取ればOK！

傾きを読み取る場合には、1マスの目盛りが問題によって異なるので注意が必要です。

今回であれば、傾きは\(\frac{1}{5}\)、切片\(0\)ですね。

よって、Aくんが家から公園に行くまでの式は \(y=\frac{1}{5}x\) となります。

 

公園から駅に行ったときの式は…

ということなので、切片が分からない場合の式の作り方を思い出してやっていきましょう。

座標と傾きを読み取ります。

すると、この直線は傾きが\(\frac{1}{15}\)で点\((25,5)\)を通るということが分かります。

このことから直線の式を作っていきましょう。

$$\begin{eqnarray}y&=&\frac{1}{15}x+b\\[5pt]5&=&\frac{1}{15}\times 25+b\\[5pt]5&=&\frac{5}{3}+b\\[5pt]\frac{15}{3}-\frac{5}{3}&=&b\\[5pt]\frac{10}{3}&=&b \end{eqnarray}$$

よって、Aくんが公園から駅に行くときの直線の式は\(y=\frac{1}{15}x+\frac{10}{3}\)

 

もしくは、2点の座標を読み取って連立方程式を使って式を求める方法もアリです。

2点\((25,5),(55,7)\) を通るってことが読み取れるので、連立方程式を使って式を作ればOKです。

個人的には、こっちのほうが好きかなー

時速18㎞ということは、60分で18㎞進むということ。

これを更に細かく考えると、10分で3㎞進むということがわかります。

※60分で18㎞というのはグラフにかききれないので、細かくして考えます。

このことから、Bくんのグラフをかくと次のようになります。

すると、AくんのグラフとBくんのグラフが交わるところがあるよね。

そこが追いついた場所ということになります。

2直線の交点の座標を読み取ると、9時40分に6㎞の地点で追いついたことがわかります。

 

また、グラフの目盛りが書いていなくて座標が読み取れないような問題もあります。

その場合には、連立方程式によって2直線の交点の座標を読み取りましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{15}x+\frac{10}{3} …① \\ y=\frac{3}{10}x-6 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}

この連立方程式を解いていくと、\(40,6\) という座標を求めることができます。

実際の問題では、連立方程式を使って追いついた場所、時刻を求める場合が多いです。

動点の利用問題

 

まずは点Pが辺AB上にある場合を考えてみましょう。

すると、辺APの長さは\(x\)㎝、辺ADの長さは\(4\)㎝なので△APDの面積は

$$△APD=4\times x\times \frac{1}{2}=2x$$

つまり、\(y=2x\) となります。

ちなみに、辺AB上を動くのは0秒から3秒の間なので、\(0≦x≦3\) ですね。

 

次に、辺BC上をうごく場合を考えてみましょう。

点Pが辺BC上を動いているとき、常に△APDの底辺は4㎝、高さは3㎝となっています。よって、△APDの面積は次のようになります。

$$△APD=4\times 3\times \frac{1}{2}=6$$

よって、\(y=6\) となります。

辺BC上を動くのは3秒から7秒の間なので、\(3≦x≦7\) ですね。

 

最後に、辺CD上を動く場合を考えましょう。

ちょっとややこしいですが、がんばりましょうｗ

頂点Aから頂点Pまでの長さを\(x\)㎝と表すことができます。

そして、\(AB+BC+CD=3+4+3=10\)㎝ なので、辺DPの長さは\((10-x)\)㎝となります。

すると、△APDの面積は次のようになります。

$$△APD=4\times (10-x)\times \frac{1}{2}=-2x+20$$

よって、\(y=-2x+20\) となります。

辺CD上を動くのは7秒から10秒の間なので、\(7≦x≦10\) ですね。

（1）でつくった式を、変域に気を付けながらグラフをかいていくと次のようになります。

なんだ、この形は…と思うかもしれませんが、式が変わればグラフの形も変わります。

3つの式を変域にしたがってかいていくと、このようにつながったグラフができあがりです！

一次関数【公式まとめ】

一次関数において、覚えておきたいことをまとめておきましょう。

 

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