★方程式の解き方まとめ★中３生は必見！これで受験を乗り切ろう

中学生で学習する方程式は次の通り。

これらの方程式の解き方について順に解説をしていきます。

この記事を通して、方程式の解き方をバッチリにしていきましょう。

これで受験も乗りきるぞ！

一次方程式の解き方（中1）

この3つの手順で解いていきます。

まずは手順①、文字と数をそれぞれ移項してまとめましょう。

$$4x-3=2x+5$$

$$4x-2x=5+3$$

$$2x=8$$

 

それぞれをまとめることができたら、次は手順②

\(x\)の前についている２で両辺を割ります。

$$2x=8$$

$$2x\div 2=8\div 2$$

$$x=4$$

 

分数の場合の解き方

分母にある２と３の最小公倍数は６です。

というわけで、６を方程式の両辺に掛けてやります。

$$\left(\frac{1}{2}x+3\right)\times 6=\left(\frac{2}{3}x+1\right)\times 6$$

$$3x+18=4x+6$$

すると、このように分数がなくなった形に変形できます。

 

あとは、先ほどと同じように手順通り解いていけばOKです。

$$3x-4x=6-18$$

$$-x=-12$$

$$x=12$$

 

小数の場合の解き方

方程式に含まれる小数が0.2のように小数第1位までの場合には×１０を。

0.02のように小数第2位までの場合には×100を掛けることで小数を消してやりましょう。

 

$$(0.2x-1)\times 10=(0.4x+0.8)\times 10$$

$$2x-10=4x+8$$

このように、両辺に×１０をすることで小数を消すことができました。

あとは手順通り解いていけばOKです。

$$2x-4x=8+10$$

$$-2x=18$$

$$x=-9$$

 

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連立方程式の解き方（中2）

中学2年生では、連立方程式を学習します。

連立方程式には2つの解き方があります。

それぞれの解き方について確認していきましょう。

加減法の解き方

\(x\)と\(y\)、どちらを消去しても良いのだけど、なるべく数を揃えやすい方を消去するように考えていきましょう。

今回の問題では、\(x\)を消去するということで話を進めていきます。

 

\(x\)の係数は３と２となっています。通分をする感じでこれらを６に揃えましょう。

\(3x-4y=-15\)の両辺を×２すると

$$6x-8y=-30$$

 

\(2x+3y=7\)の両辺を×3すると

$$6x+9y=21$$

 

このように、それぞれ\(x\)の係数を揃えることができました。

あとはこれらの式を引いてやれば\(x\)を消去することができます。

 

すると、このような手順で答えを出すことができます。

 

 

代入法の解き方

足したり、引いたりすることで文字を消去するのが加減法でした。

一方で代入法は、その名の通り代入することで文字を消去します。

このように\(x=…\),\(y=…\)になっている式をもう一方の式に代入します。

すると

$$2x-5(x-9)=3$$

という式ができあがり、\(y\)を消去することができました。

あとは、この方程式を解いていけばOKですね！

$$2x-5(x-9)=3$$

$$2x-5x+45=3$$

$$-3x=-42$$

$$x=14$$

\(x=14\)を\(y=x-9\)に代入すると

$$y=14-9=5$$

よって、解は\((x,y)=(14,5)\)となります。

 

 

分数、小数の場合の解き方

\(\displaystyle{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y=2}\)の両辺に×６

\(0.1x + 0.4y = -0.5\)の両辺に×１０をすると

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=12 \\ x + 4y = -5 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

このようにスッキリした連立方程式に変形することができます。

あとはこれを解いていけばOKですね。

 

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二次方程式の解き方（中3）

中学３年生で学習する二次方程式には大きく分けて

以上、４つの解き方があります。

方程式の形を見て、どの解き方が最適化を判断していく必要があります。

だから、ちょっと大変だね…

でも、１つ１つの解き方自体は別に難しいものではないから大丈夫！

平方根を利用した解き方

 

まず、手順①

\((xの式)^2＝(数)\)の形になるよう、両辺に÷３をします。

$$3x^2=9$$

$$3x^2\div 3=9\div 3 $$

$$x^2=3$$

 

次に手順②

\((xの式)=\pm\sqrt{(数)}\)のように変形します。

$$x^2=3$$

$$x=\pm\sqrt{3}$$

まずは手順①、両辺を÷２します。

$$2(x-1)^2\div2=8\div2$$

$$(x-1)^2=4$$

 

次に手順②、二乗をとって±√をつけます。

$$(x-1)^2=4$$

$$x-1=\pm\sqrt{4}$$

$$x-1=\pm 2$$

$$x=1\pm 2$$

$$x=3, -1$$

因数分解を利用した解き方

 

まずは手順①、因数分解をしましょう。

$$x^2-3x-10=0$$

$$(x-5)(x+2)=0$$

 

次に手順②、A=0またはB=0となることを利用します。

$$(x-5)(x+2)=0$$

$$x-5=0,　x+2=0$$

$$x=5,　-2$$

 

解の公式を利用した解き方

 

今回の方程式を見ると、平方根も因数分解も利用できない…となってしまいます。

そんなときに利用できるのが解の公式です！

 

それでは、解の公式に当てはめて解いていきましょう。

\(3x^2-9x+5=0\)から\(a=3, b=-9, c=5\)が読み取れます。

これらを解の公式に代入すると

$$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

$$x=\frac{9\pm \sqrt{81-60}}{6}$$

$$x=\frac{9\pm \sqrt{21}}{6}$$

平方完成を利用した解き方

中学生のうちは、平方完成を利用した解き方についてはあまり利用することがないかもしれません。

一応、ご紹介しておきますが軽く頭の片隅にでも入れといてもらえればOKです。

それでは、次の方程式を解いてみましょう。

まずは、-７を右辺に移行し\((xの式)=(数)\)とします。

$$x^2-2x-7=0$$

$$x^2-2x=7$$

次に、\(x\)の係数である(-2)の半分を二乗した数を両辺に加えます。

ちょっとややこしいですが

\(-2\)を半分にした数\((-1)\)を二乗する

$$(-1)^2=1$$

を両辺に加えます。

$$x^2-2x+1=7+1$$

$$x^2-2x+1=8$$

すると、左辺が因数分解できる形になっているはずです。

$$(x-1)^2=8$$

この形を作ることができれば、平方根を利用した解き方で解いていくことができます。

$$x-1=\pm\sqrt{8}$$

$$x=1\pm 2\sqrt{2}$$

 

方程式の解き方まとめ

中学で学習する方程式の解き方をまとめておきました。

受験を乗り切るためには、しっかりと理解しておきたいものばかりです。

 

それぞれの解き方を利用できれば、学校のワークや問題集を使ってたくさん練習しておきましょう！

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