数学

★ルート分数の有理化★項2つ3つある場合は?やり方まとめ【高校生】

どーん!

$$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

 

どーん!

$$\large{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$$

ゆい
ゆい

ちょ、ちょっと!

何なんですかコレは…

ルートがいっぱいで、嫌がらせですか!?

 

高校生になると、こういった難しい有理化をしていかないといけない。

んー辛いね!

だけど、しっかりとやり方を身につけてしまえば楽勝な問題に変わっちゃうから大丈夫!

かず先生
かず先生

一緒に学んでいこうぜ!

★有理化の仕方★やり方をまとめておくよ!【中学生】 というわけで、今回の記事では中学で学習するルートの有理化について学習していくよ! 例題を通してやり方を解説...

スポンサーリンク



項2つ、3つの有理化やり方

2項の有理化

次の数を有理化しなさい。

$$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

分母に2つ項がある場合には

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

この乗法公式の性質を利用して進めていきましょう。

 

分母にある\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)に対して

1つの項の符号を変えた\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)の式を分母分子にかけていきます。

$$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$$

$$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}$$

$$=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

かず先生
かず先生

ちょっと計算は複雑になっちゃうけど

やってることはシンプルだよね

分母にある式を1つだけ符号変えてかける!

項2つの有理化手順

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$

3項の有理化

次の数を有理化しなさい。

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

項が3つになると、ちょと難しい…

なので!3つの項を

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}$$

このようにまとめて、無理やり2つにしてしやりましょう!

 

そして、\((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\)を使って有理化を進めていきます。

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

$$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}$$

$$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$$

$$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}$$

$$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$$

$$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times \sqrt{6}}$$

$$=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$$

かず先生
かず先生

めっちゃ長い!

項が3つの場合には、ちょっと大変だけど

こんな感じで解いていこう。

ゆい
ゆい
これはたくさん練習しておいた方が良さそうですね

というわけで、次の章では練習問題を用意しています。

このやり方を使って解けるかどうか練習してみよう!

項3つの有理化手順

$$\frac{d}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$

$$=\frac{d\times \{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}}{\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}\}\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}}$$

スポンサーリンク



高校レベル有理化【練習問題】

次の数を有理化しなさい。

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$

答えはこちら

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$$

$$=\frac{\sqrt{15}+3}{5-3}$$

$$=\frac{\sqrt{15}+3}{2}$$

 

次の数を有理化しなさい。

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$

答えはこちら

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$

$$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\{(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{5}\}}{\{(\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{5}\}}$$

$$=\frac{\{(\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{3})\{(\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{3}\}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$$

$$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{2-2\sqrt{6}+3-5}$$

$$=\frac{2+2\sqrt{10}+5-3}{-2\sqrt{6}}$$

$$=\frac{4+2\sqrt{10}}{-2\sqrt{6}}$$

$$=\frac{-2-\sqrt{10}}{\sqrt{6}}$$

$$=\frac{(-2-\sqrt{10})\times \sqrt{6}}{\sqrt{6}\times \sqrt{6}}$$

$$=\frac{-2\sqrt{6}-2\sqrt{15}}{6}$$

$$=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$$

有理化まとめ【高校生】

以上!

高校で学習する分母の有理化についてでした。

有理化の性質上、どうしても計算が複雑になってしまいます。

 

なので、有理化のやり方は分かったけど計算ミスしてしてしまう…という現象が多発してしまいます。

そうならないよう、たくさん問題演習をこなして慣れていくようにしましょう!

分母の有理化手順【高校生】

~項が2つ~

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$

 

~項が3つ~

$$\frac{d}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$

$$=\frac{d\times \{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}}{\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}\}\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}}$$

スポンサーリンク



ゆい
ゆい

もっと成績を上げたいんだけど…

何か良い方法はないかなぁ…?

この記事を通して、学習していただいた方の中には

もっと成績を上げたい!いい点数が取りたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど

何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

かず先生
かず先生

スタディサプリを使うことをおススメします!


スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか

何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

ゆい
ゆい

迷わず勉強できるっていうのはすごくイイね!

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ7つのメリット!
  1. 費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。

スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで

どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

 

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

かず先生
かず先生

実際に、僕もスタディサプリを受講しているんだけど

すっごく分かりやすい!

そして、すっごく安い!!

このサイト作成や塾講師としてのお仕事に役立てています。

なので、ぜひとも体験していただきたい(^^)

⇒ スタディサプリの詳細はこちら

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。