どーん！
$$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$
どーん！
$$\large{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$$
ちょ、ちょっと！
何なんですかコレは…
ルートがいっぱいで、嫌がらせですか！？
高校生になると、こういった難しい有理化をしていかないといけない。
んー辛いね！
だけど、しっかりとやり方を身につけてしまえば楽勝な問題に変わっちゃうから大丈夫！
一緒に学んでいこうぜ！
項２つ、３つの有理化やり方
２項の有理化
次の数を有理化しなさい。
$$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$
分母に２つ項がある場合には
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
この乗法公式の性質を利用して進めていきましょう。
分母にある\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)に対して
１つの項の符号を変えた\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)の式を分母分子にかけていきます。
$$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$$
$$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}$$
$$=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$
ちょっと計算は複雑になっちゃうけど
やってることはシンプルだよね
分母にある式を１つだけ符号変えてかける！
$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
３項の有理化
次の数を有理化しなさい。
$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$
項が３つになると、ちょと難しい…
なので！３つの項を
$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}$$
このようにまとめて、無理やり２つにしてしやりましょう！
そして、\((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\)を使って有理化を進めていきます。
$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$
$$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}$$
$$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$$
$$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}$$
$$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$$
$$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times \sqrt{6}}$$
$$=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$$
めっちゃ長い！
項が３つの場合には、ちょっと大変だけど
こんな感じで解いていこう。
というわけで、次の章では練習問題を用意しています。
このやり方を使って解けるかどうか練習してみよう！
$$\frac{d}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$
高校レベル有理化【練習問題】
次の数を有理化しなさい。
$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$
次の数を有理化しなさい。
$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$
有理化まとめ【高校生】
以上！
高校で学習する分母の有理化についてでした。
有理化の性質上、どうしても計算が複雑になってしまいます。
なので、有理化のやり方は分かったけど計算ミスしてしてしまう…という現象が多発してしまいます。
そうならないよう、たくさん問題演習をこなして慣れていくようにしましょう！
~項が２つ~
$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
~項が３つ~
$$\frac{d}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$