図形と証明

【二等辺三角形の角度の問題】基礎から応用までパターン別に解説!

ゆい
ゆい

二等辺三角形の角度を求める問題を練習したいですっ★

ってことで、今回の記事では二等辺三角形の角度を求める問題について解説していきます。

角度を求める問題は、図形の性質を覚えてしまえば楽勝!

だから、この記事を通して二等辺三角形マスターになっちゃおうぜ

 

かず先生
かず先生

まずは二等辺三角形の性質をおさらいしておこう!

二等辺三角形の性質!

二等辺三角形の性質と用語

かず先生
かず先生

二等辺三角形の角の問題では、底角が等しいってことだけ覚えておけば大丈夫!

では、二等辺三角形の角を求める問題をみていこう!

二等辺三角形の角度を求める基本問題!

では、まずは基本問題からみていこう!

次の\(∠x\)を求めなさい。

ゆい
ゆい

お、これは簡単です!

底角が同じなこと

三角形の角は全部で180°

ってことを使えばいけますね★

その通りですね!

まずは、底角が等しいことから

このように角度が分かります。

すると、三角形の内角は全部で180°になるから\(∠x\)は次のように計算できます。

$$180-(70+70)=180-140=40°$$

答え

$$40°$$

底角がわかるときには、同じ大きさの角を見つけよう!

 

ゆい
ゆい

はい、次の問題こいや~!

 

次の\(∠x\)を求めなさい。

ゆい
ゆい

これもらくしょ…

あれ?どうやるんだろ…汗

たしかにこれは迷っちゃう人が多い問題だね。

頂角の方が与えられた場合には、次のように考えましょう。

1つの角が30°ってことは、残り2つ分の角は150°ってことになるよね。

そして、底角は同じ大きさになるのだから

150°を半分にすれば、底角1つ分が求まるってわけ!

つまり、\(∠x\)の大きさは

$$150\div 2= 75°$$

答え

$$75°$$

 

ゆい
ゆい

なるほど!

まずは底角2つ分の角を求めるっていうのがポイントですね

頂角がわかるときには、底角2つ分の角が何度になるか考えてみましょう。

ゆい
ゆい

つ、つぎの問題いくぞー

(だんだんむずくなってきたぞ…)

 

次の\(∠x\)を求めなさい。

ゆい
ゆい

(三角形の外に角があるんですけど…)

二等辺三角形の外に角があるけど

基本的には考えることは同じでOK!

まずは、二等辺三角形の底角がわかるよね

底角が分かれば、余裕だね!

$$180-(35+35)=180-70=110°$$

答え

$$110°$$

ゆい
ゆい

あー、全然難しくなかったですw

まずは二等辺三角形の内角をどこかしら求めるっていうのが大事ですね

二等辺三角形の角度がわからない場合、外角などのヒントからまずは1つ角の大きさをわかるようにしましょう!

 

かず先生
かず先生

次の問題からはちょっと発展になってくるぞー

ゆい
ゆい
え…

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二等辺三角形の角度を求める応用問題!

次の\(∠x,∠y\)を求めなさい。

ゆい
ゆい

二等辺三角形が2つくっついているだと…

そんなバカな…

かず先生
かず先生

難しく見えるけど、1つずつ丁寧にやっていけば大丈夫!

まずは、\(∠x\)を含む二等辺三角形に注目していきましょう。

すると、\(∠x\)は頂角にあたる部分だとわかりますね。

$$180-(20+20)=140°$$

よって、\(∠x\)は140°だとわかりました。

 

次に、\(∠y\)を含む二等辺三角形に注目しましょう。

すると、このように\(∠y\)の部分が底角になっていることがわかります。

次に三角形の外角の性質を利用すると

\(y\)を2つ足した角度が140°等しくなることに気が付きます。

よって、\(∠y\) の大きさは

$$\begin{eqnarray} 2y&=&140\\[5pt]y&=&140\div 2\\[5pt]y&=&70°\end{eqnarray}$$

答え

$$∠x=140°, ∠y=70°$$

ゆい
ゆい

外角の性質って忘れてました…

覚えておかないとですね

外角の性質を使わずとも計算はできるのですが、覚えておくと便利です。

忘れていた人は、これを機に覚えておきましょう(^^)

二等辺三角形が2つくっついている場合には、外角の性質を使うことが多いから覚えておこう!

 

かず先生
かず先生

では、次が最後!

気合入れていこうぜ

ゆい
ゆい

おし!最後がんばろう!

次の\(∠x\)を求めなさい。

ゆい
ゆい

え、どこにも角の大きさが書いてないけど

こんなん無理ですって…

かず先生
かず先生

これは結構、難易度が高い問題だね

だけど、ここまできた最後までがんばって理解しよう!

まずは、\(∠x\)を含む二等辺三角形に注目してみよう。

すると、\(∠x\)は底角の部分なので上のように同じ大きさの角を見つけることができます。

さらに三角形の外角の性質を利用すると

このように、\(2x\)の大きさになっている角を見つけることができます。

 

次は、\(∠2x\)を含む二等辺三角形に注目

最後は一番大きな二等辺三角形に注目と流れていきます。

すると、大きな二等辺三角形の内角はそれぞれ\(x, 2x, 2x\) と表すことができました。

もちろん、三角形の内角の和は180°なので

$$\begin{eqnarray}x+2x+2x&=&180\\[5pt]5x&=&180\\[5pt]x&=&36° \end{eqnarray}$$

このように求めることができました。

答え

$$36°$$

 

ゆい
ゆい

はぇ~

\(x\)をたどっていくことで、最後は方程式で解くことができるんだね

おどろきだよ

かず先生
かず先生

これはちょっと発展的な問題だったけど

テストで上位を目指すのであれば解けるようにしておきたい1問だね!

角度がわからない場合では、\(x\)と等しくなる角を見つけて方程式を作ろう!

 

二等辺三角形の角度の問題【まとめ】

かず先生
かず先生

ご苦労様でした!

二等辺三角形の角度はバッチリかな?

ゆい
ゆい

これだけやったので大丈夫です★

あとは、ワークなどでたくさん練習します!

二等辺三角形の角度の問題では

底角が等しいこと

三角形の外角の性質

この2点を覚えておけば応用問題でも解くことができます。

ただし、発想が難しい問題もあるので、いろんな問題集を使って知識を深めておきましょう。

 

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ゆい
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