六角形の内角って何度になるんだっけ？？
たしか、角度の求め方って何か法則があったよね？
というわけで、今回の記事では「多角形の内角の和の求め方」について解説していきます。
六角形の内角の和は720°になるよ
これは、ある法則を身につけておくと簡単に計算できるよ！
多角形の内角の和の求め方
\(n\)角形の内角の和は次のように求めれます。
$$\color{red}{180\times (n-2)}$$
【例】
十角形 ⇒ \(180\times (10-2)=1440°\)
十二角形 ⇒ \(180\times (12-2)=1800°\)
なぜ上のような式で求めることができるのか確認しておきましょう。
三角形の内角の和が180°になるというのは知っての通りだね。
これを利用すると、次のように考えることができます。
四角形の中には三角形が2つ分入っている。
だから、\(180\times 2=360°\) って考えることができます。
同様に、五角形の中には三角形が3つ分入っている。
だから、\(180\times 3=540°\) って考えることができます。
なるほど！
でも…多角形の中に三角形がいくつ入っているかなんて、どうやって見つけたらいいの？
これは単純なことです。
多角形の中にいくつ三角形が入っているかには、ある法則があります。
四角形⇒2個、五角形⇒3個、六角形⇒4個 … 百角形⇒98個
さて、何かルールが見えてきませんか？
あ！
〇角形の〇部分から2を引いた数だ！
その通りです！
多角形の中に三角形がいくつ入っているかというのは、2を引けば簡単に求めることができます。
これを文字に置き換えて考えてみましょう。
\(n\)角形の場合には三角形がいくつ入っているでしょうか？？
2を引けばいいから…
\(n-2\)個だ！
だから、\(180\times (n-2)\) という式になるんだね。
では、多角形の内角の和の求め方について理解できたところで、練習問題に挑戦してみましょう。
多角形の内角に関する問題
九角形の内角の和を求めなさい。
\(180\times (n-2)\)に当てはめて考えればOKです。
今回は九角形なので、\(n\)部分に9を入れて計算すると
$$180\times (9-2)=1260°$$
となります。
答え
$$1260°$$
内角の和が1980°である多角形を答えなさい。
内角の和が与えられるパターンですが、こちらも \(180\times (n-2)\)を用いて計算していきます。
和が与えられており、\(n\)を求めたい問題なので次のように方程式を作り、解いていきましょう。
$$\begin{eqnarray}180\times (n-2)&=&1980\\[5pt]n-2&=&1980\div180\\[5pt]n-2&=&11\\[5pt]n&=&13 \end{eqnarray}$$
よって、十三角形となります。
答え
十三角形
\(∠x\)の大きさを求めなさい。
まずは、五角形の内角の和を考えましょう。
$$(五角形の内角の和)=180\times 3=540°$$
次に、内角の和からすでに分かっている4つの角を引いていけば\(x\)の角度を求めることができます。
$$540-(93+130+106+125)=86°$$
答え
$$86°$$
正多角形の1つ分の内角の大きさ
次に正多角形というものについて、確認をしておきましょう。
正多角形とは、すべての辺、角の大きさが等しい多角形のことをいいます。
つまり、正多角形の1つ分の内角は、内角の和を等分することで求めれます。
【例】
(正三角形)
内角の和180° ⇒ 1つ分の内角\(180\div3=\color{red}{60°}\)
（正六角形）
内角の和720° ⇒ 1つ分の内角\(720\div6=\color{red}{120°}\)
外角というものを利用すると、もっと簡単に求めることができます。
が、今回はあえて内角の和を用いて考えてみましょう。
正十角形の内角1つ分の大きさを求めなさい。
まずは、十角形の内角の和を求めます。
$$180\times (10-2)=1440°$$
これを10等分すると、1つ分の内角の大きさを求めることができます。
$$1440\div 10=144°$$
答え
$$144°$$
なるほど！
内角1つ分って問われても、内角の和を求めることができれば楽勝だね♪
多角形の内角の和の求め方まとめ！
多角形の内角の和についてサクッと解説してきたけど
理解してもらえたかな？
ポイントは、\(180\times (n-2)\)っていう式だね！
OK,OK～♪
超理解したよ！
これで、百角形だろうと、千角形だろうと内角の和は楽勝だわ
\(n\)角形の内角の和は次のように求めれます。
$$\color{red}{180\times (n-2)}$$
また、正多角形の1つ分の内角は、内角の和を等分することで求めれます。